作者：王宇
来源：《江苏理工学院学报》 2019年第2期
王宇
（安徽汽车职业技术学院汽车工程系，安徽合肥230601）
摘要：为了深入研究制动系统，建立了三自由度盘式制动系统模型，采用了stribeck 摩擦模型计算盘块之间的摩擦力。通过数值分析，研究了制动压力对制动系统动力学特性的影响规律。结果表明，随着制动压力的变化，系统出现了周期振动与混沌振动现象，制动压力的大小对制动系统动力学特性具有显著影响。
关键词：三自由度；制动系统；混沌；粘滑；振动
中图分类号：U461.3 文献标识码：A 文章编号：2095-7394（2019）02-0043-06
制动系统是车辆的一个主要系统，其性能好坏直接影响着车辆行驶的安全性和乘坐舒适性。随着汽车保有量的爆炸式增长，制动噪声也成为了城市噪声的重要组成部分，对制动系统进行研究的必要性不言而喻，因此国内外学者对制动系统的动力学特性进行了大量研究。
Mill 是最早进行制动系统研究的学者之一，其早在1938 年就发现了制动的粘滑振动并提出了stick-slip 概念，得出制动系统的粘滑振动与摩擦参数的负斜率特性密不可分的结论[1]。为了对粘滑振动的本质进行探究，后来学者们对制动系统进行了简化，得到不同自由度的制动系统动力学模型，其中影响最深、运用最广泛的是结构简单、利于分析的质量块—传送带单自由度模型。Bowden and Leben 通过对此模型的研究分析得出了与Mill 相同的结论：摩擦的负斜率特性是粘滑振动现象出现的必要条件[2]。U. Andreaus 得出了另一个重要的结论：粘滑振动现象出现与否与传送带的速度有重大关系，且驱动速度较低时容易出现粘滑现象[3]。随着研究的深入，制动系统模型得到进一步的丰富和发展。Ugo Galvanetto 在单自由度模型的基础之上通过增加一个并联的质量块将模型扩展为双自由度模型，发现了系统的复杂运动特性，重点研究了与时间相关的动力学行为[4]。D Wei, L Li 等人在Ugo Galvanetto 的基础上找到了低速区间内系统的多极限环[5]。认为制动压力产生或者释放的速率是制动噪声产生的原因之一[12]。
本文在现有的研究基础之上，考虑到摩擦块的切向、轴向自由度和制动盘的扭转自由度，建立了一个三自由度的制动系统动力学模型，并通过数值计算找到了系统的阵发性混沌，计算分析结果为制动系统参数的选择提供了理论依据。
1 三自由度制动系统动力学模型
如图1 所示，建立了一个包含摩擦块切向、轴向和制动盘扭转三个自由度的制动系统动力学模型。基于此模型，运用牛顿运动定理建立制动系统运动微分方程组：
my?+c2 y?+k2 y =F
mx?+c1x?+k1x =Ff
Jθ?+c3θ?+k3θ =T
， （1）
其中x ，y ，θ 分别表示摩擦块的切向位移、轴向位移和制动盘的扭转角位移；k1 ，c1 分别表示摩擦块与制动钳、制动盘之间的切向总成刚度、阻尼；k2 ，c2 分别表示摩擦块与制动盘之间的轴向接触刚度、阻尼；k3 ，c3 分别表示制动盘的扭转刚度、阻尼；m 表示摩擦块的质量；J 表示制动盘的转动惯量；F 表示制动压力；Ff 表示摩擦块与制动盘之间的摩擦力；T 表示作用在制动盘上的由摩擦产生的制动力矩。
2 Stribeck 摩擦模型
Stribeck 摩擦，也称为Stribeck 效应，主要用来描述低速区的摩擦力行为。Stribeck 摩擦力是稳态速度的函数，在相对速度较低的范围内，摩擦力随着相对速度的增加而下降。选用具有负斜率特性的指数形式干摩擦模型。其数学表达式为：
μ(vr)=μké?ê ù?1+(ζ -1)e- ú a |v | r tanh(βvr) ， （2）
其中：vr 表示摩擦块与制动盘之间的相对速度；μ(vr) 表示摩擦系数的大小；μk 表示动摩擦系数；ζ表示静摩擦系数与动摩擦系数的比值，其值大于1；a 为衰减系数，其值大小表示摩擦系数下降的快慢；β 为平滑参数，其值大小表示动摩擦系数下降的速率。
通过图2，我们可以看到在低速时该摩擦模型具有较强的非线性和负斜率特性。
针对此三自由度摩擦模型，相对速度vr 为摩擦块切向速度与相应位置处制动盘的线速度的差值，即
vr =ωr +θ?r -x?， （3）
式中：r 表示制动块所在位置距离制动盘旋转中心的等效距离；ω 表示制动初始车轮的角速度。相应的，Ff 摩擦力可以表示为：
Ff =Fμ(vr) 。（4）
制动力矩T 可以表示为：
T =-Ff r 。（5）
3 系统动力特性计算与分析
微分方程组（1）和补充方程（2）、（3）、（4）、（5）为研究该三自由度制动系统的动力学特性提供了基本条件，从而方便从动力学角度对制动系统参数对制动颤振的影响进行分析。本文使用MATLAB 软件，运用龙格库塔法对以上方程进行编程，从数值解的角度对盘式制动器的动力学特性进行分析和讨论，主要研究了制动压力F 对系统运动的影响规律。研究的系统参数如下： k1 =1e5 N/m，k2 =2e5 N/m，k3 =3e5 N/m，ci =1 N ?s/m（i =1，2，3），r =0.18 m，m =0.5 kg,J =0.65 kg ?m ?s2，ω =0.5rad/s，μs =0.5，μk =0.3。
保持结构参数不变，不断改变制动压力的大小，通过数值计算得到制动压力与相对速度的分岔图，如图3。
从图3 中可以清楚的看到，随着制动压力的增加，制动块的运动交替出现从单周期走向多周期并最终走向混沌的过程，在交替的过程中周期运动时间逐渐减少而混沌运动时间不断增加，出现典型的阵发混沌现象，同时可以看到当制动压力足够大时，系统的混沌振动逐渐减小，并最终消失，振动从多周期走向单周期。
为了能够对制动系统的运动形式有更深一步的剖析，我们在低制动压力区选择了三个典型压力值（F=240 N，330 N，383 N）做出了系统运动的相图、庞加莱截面图、时域图和频谱图，如图4。
如图4（a）所示，当制动压力F=240 N 时，摩擦块的切向运动为标准的单周期粘滑振动，其振动主频约为70 Hz。如图4（b）所示，当制动压力F=330 N 时，摩擦块的切向运动为双周期粘滑振动，其振动主频约为40 Hz，但出现了较多的分频。如图4（c）所示，当制动压力F=383 N 时，两个吸引子的环带相遇，切向运动表现为无周期粘滑振动，处于混沌状态，频谱图具有明显的宽频特性。随着压力的增加摩擦块切向运动从单周期到倍周期，最终走向混沌，轴向始终做极限环运动，位移有所增大，但很不明显，周期运动时间几乎相等，混沌运动周期明显缩短。
4 结论
本文在总结前人研究工作的基础之上，建立了包含切向、轴向和扭转三个自由度的制动系统模型，通过数值计算，找到了系统的分岔与混沌现象，重点研究并分析了制动压力对制动系统动力学特性的影响，对认识非线性动力学对制动系统颤振的影响具有理论指导意义。
结果表明，在不考虑结构参数的情况下，随着制动压力的增长，系统交替出现周期和混沌运动，并在一定范围内周期不断减少，混沌运动逐渐增加，但是当制动压力增长到一定程度时，系统的混沌逐渐减少，直至消失，系统只进行周期振动。该发现对制动系统制动压力的匹配选择具有重要的理论指导作用。
参考文献：
[1] MILLS H R. Brake squeak [R]. Technical Report 9000 B，Institution of Automobile Engineers，1938.
[2] BOWDEN F P，LEBEN L. The nature of sliding and theanalysis of friction
[J],Royal Society of London ProceedingsSeries A Mathematics Physics and Engineering Science，1939，169（169）：371-391.
[3] ANDREAUS U，CASINI P.Dynamics Of Fiction OscillatorsExcited by A Moving
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[4] GALVANETTO U, KNUDSEN C. Event Maps in a Stick-Slip System [J].Nonlinear Dynamics 1997，13（2）：99-115.
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[12] WU G Q，JIN S Y. Combination of Test with SimulationAnalysis of Brake Groan Phenomenon [J]. SAE IntmationalJournal of Passenger Cars.DOI ：10.4271/2014-01-0869.
Vibration Research of a New Braking System Based on StribeckFriction Model
WANG Yu
（Department of Automative Engineering，Anhui Automobile Career Technical College，Hefei 230601，China）Abstract：A three- degree- of- freedom disc brake system model is established, and the friction between thebrake disk and pad is
calculated by using the stribeck friction model. The influence of brake pressure on dynamiccharacteristics of brake system is studied by numerical analysis. The results show that, with the change of brakepressure, the system shows the
phenomenon of periodic vibration and chaotic vibration, and the size of
brakepressure has a significant influence on the dynamic characteristics of the braking system.
Key words：three degrees of freedom；braking system；chaos；stick-slip；vibration
责任编辑祁秀春
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