以问题驱动,思想引领综合实践活动

９—８　数学教学　２０１５年第９期　以问题驱动，思想引领综合实践活动　６３６０３１　四川省巴中市大和初中　李发勇　爱因斯坦曾经说过：“提出一个问题往往　一比解决一个问题更重要．因为解决问题也许仅　是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新　的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志　着科学的真正进步．”“图形的平分”是现行华　师大版八年级《数学》下册新增的一则综合与　实践课程，源于教材，却高于教材．教学中关　键解决以下问题：①发现和提出问题；②渗透　数学思想方法；③引导学生转化、拓展解决问　题．　准备知识：　定义：将平面图形分割成面积相等的两部　分的直线叫做图形面积平分线．　结论１三角形的每条中线平分这个三角　形的面积．　结论２如图１，若ＡＤ／／ＢＣ，则ＳＡＡＢＣ　＝ＳＡＤＢＣ．　’　Ａ　，）　图１　思想方法：将多边形转化为面积相等的三　角形平分问题．　１．特例　１．１对于矩形　问题１矩形的每条对称轴或对角线均能　将其面积二等分．你还能发现其他直线吗？它　们之间有什么共同的规律呢？　通过探究，如图２，在一组对边ＡＤ、ＢＣ　上，取　Ｅ＝　Ｆ，则直线ＥＦ一定能将其面　积二等分；同理，在另一组对边ＡＢ、ＣＤ上，　取ＡＭ＝ＣⅣ，则直线　Ⅳ一定能将其面积二　等分．　证明：　如图２，　由作图知点Ｐ为矩　形　Ｂ　的对称中心，四边形ＡＢＦＥ与四　边形ＣＤＥＦ关于点ＪＦ）对称，所以ＳＡＢＦＥ＝　ＳＣＤＥＦ．　同理，ＳＡＤＮＭ＝ＳＮＭＢＣ．　结论：有无数条直线能将矩形面积平分，　它们都经过矩形的对称中心．　问题２经过矩形每组对边中点的两条直　线或两条对角线均能将其面积四等分．你还能　找到其他直线吗？如果有，如何作出呢？他们　有什么规律呢？　作法：（１）如图３，设对角线　Ｃ、ＢＤ相交　于点Ｐ，经过点Ｐ任作直线ＥＦ分别交ＡＤ、　ＢＣ于点Ｅ、Ｆ，则ＥＦ平分矩形　Ｂ　Ｄ的面　积．　（２）分别连结ＡＰ、ＢＰ，分别过点Ｅ、Ｆ　作ＲＥ／ｌＡＰ，ＳＦｆｆＢＰ，依次交直线ＡＢ于点　和Ｓ．取ＲＳ的中点Ｍ，连结　Ｐ并延长交　Ｄ于Ⅳ．则ＭⅣ平分四边形ＡＢＦ　ＥＦ　Ｄ　的面积．　２０１５年第９期　面积．　数学教学　９—９　则直线ＥＦ和ＭⅣ四等分矩形ＡＢＣＤ的　证明：如图３，由作法（１）知，ＳＡＢＦＥ＝　ＳＥＦＣＤ．由作法（２）知，ＥＲｆｆＡＰ，得ＳＡＡＰＲ＝　ＳＡＡＰＥ．同理ＳＡＢＰＳ＝ＳＡＢＰＦ．由于ＳＡＰＭＲ　＝ＳＡＰＭｓ，故ＳＡＭＰＥ＝ＳＭＢＦＰ．利用对称性，　得ＳＦＣＮＰ＝ＳＡＭＰＥ，ＳＥＰＮＤ＝ＳＭＢＰＥ．所　以ＳＡＭＰＥ＝ＳＭＢＦＰ：ＳＦＣＮＰ＝ＳＥＰＮＤ．　问题５是否也存在这样的直线，将其面　积二等分呢？它们有什么规律呢？　正六边形是一种特殊的中心对称图形．和　平行四边形一样，经过每组中心对称对应边中　点的直线或每条对称轴将其面积二等分．　类似地，在一组中心对称边　Ｂ、ＤＥ上，　取Ａ　＝Ｄ　，则直线　一定能将其面积二　等分．正确性可以通过对称性予以证明．这样　Ｒ　卜●●，　、　、　、　、　、　、　当点Ｅ在ＡＤ上移动时，点Ｍ必在Ａ日　上，所以四等分矩形面积的两条直线有无数　组，它们都经过矩形对称中心．　２．变式　２．１关于平行四边形呢？　问题３对于一般的平行四边形，是否也　存在这样的直线，将其面积二等分呢？它们有　什么规律呢？　分析：矩形是特殊的平行四边形．对于　一般的平行四边形和矩形一样，每条对角线以　及经过每组对边中点的直线将其面积二等分．　如图４，仿问题１的作法，可得　Ｆ或ＭⅣ　平分平行四边形面积，这样的直线有无数条，　都经过对称中心．　问题４与矩形类似，除了两对角线或经　过每组对边中点的两条直线将其面积四等分，　还有其他直线吗？　如图４，仿问题２作法，可得两条直线　Ｆ　和ＭⅣ四等分平行四边形ＡＢＣＤ的面积．仿　问题２的证明可知，当点Ｅ在ＡＤ上移动时，　点　必在　Ｂ上，四等分平行四边形面积的两　条直线有无数组，都经过对称中心．　图４　２．２平行四边形是特殊的中心对称图形，　对于一般的中心对称图形也有类似的性质吗？　２．２．１正六边形的等分问题　的直线可以作出无数条，它们都经过正六边形　的中心．　问题６除了两条互相垂直的对称轴能四　等分其面积，还有没有其他直线也能将其面积　四等分呢？如果有，如何作出呢？他们有什么　规律呢？　如图５，正六边形ＡＢ　ＤＥＦ的中心为点　（＝），过（＝）作直线ＪＫ交一组对应边于点　、　．　连结　，过点Ｄ作ＤＳ／／ＣＪ交直线　ｃ于点　Ｓ，将五边形　Ｂ　Ｄ转化为面积相等的四边　形ＪＫＢＳ．最后仿问题２作法（２），可得四边形　Ｊ　ＢＳ的面积平分线ＯⅣ，连结ⅣＯ并延长交　于Ｂ　的对应边　Ｆ于点Ｍ，则ＪＫ、ＭⅣ将　其面积四等分．　图５　证明：由作图知ＤＳｆｆＣＪ，则　ＪＣＳ＝　ＳＡＪＣＤ．仿作法２的证明，得ＯＮ平分四边形　ＪＫＢＳ，推得ＳＯＫＢＮ＝ＳＯＮＣＤＪ，由中心对称　性，得ＳＢＮＯＫ＝ＳＥＭＯＪ，ＳＭＦＡＫＯ＝ＳＮＣＤＪｏ，　则　、ＭⅣ四等分正六边形ＡＢＣＤＥＦ．　当点　、　在一组中心对称对应边上时，　点Ｍ、Ⅳ必在另一组中心对称对应边上，所以　四等分正六边形面积的两条直线有无数组，都　经过正六边形对称中心．　２。２．２正四角星的等分问题　如图６，除了两组互相垂直的对称轴　、　Ｇ及ＢＦ、Ｄ日都可以将其面积四等　分，还有没有其他直线呢？如果有，请作出　来．　９一　Ｄ　数学教学　２０１５年第９期　图６　设正四角星的中心为点Ｐ，过点Ｐ任作直　线ＭⅣ，与正四角星的交点不妨设为Ｍ、Ⅳ，　则　Ⅳ平分正四角星的面积；再过点Ｐ作　兄　上ＭⅣ，交正四角星于点Ｒ和　，则直线　ＭⅣ、ＲＴ将其四等分．　利用对称性易证作图正确．可见，平分正　四角星面积的直线有无数条，四等分正四角星　面积的二条直线有无数组，都经过对称中心．　归纳：ｆ１）对于中心对称图形经过对称中　心的任一直线都将其面积二等分，这样的直线　有无数条．　（２）对于中心对称图形有无数组两条直线　四等分其面积．　３．拓展　对于非中心对称图形呢？譬如梯形，经过　梯形中位线中点的直线（与两底相交）将其分割　成面积相等的两部分，这样的直线有无数条．　思考１：还有没有其他直线也能将其面积　两等分吗？譬如平行于二底的直线．　分析：如图７，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ／／ＢＣ，　设　Ｄ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，高　Ｓ＝ｈ，点Ｅ、Ｆ分别　在腰　Ｂ、　Ｄ上，且ＥＦ／／ＡＤ，交　于点Ｐ，　设ＥＦ＝　，　尸＝Ｙ，则Ｓ＝－５　（０＋ｂ）ｈ．由面　积关系得（ａ＋ｘ）ｙ＝（Ｘ＋６）（　一Ｙ）＝Ｓ，整　理得　＝　＋　Ｘ　＋　十ａＸＤ　，解得　＝￣Ｖ／　　．　代入（。＋　）　＝＝＝ｓ，解得　：＝＝——　，　０＋Ｖ　Ｔ　故　一：一ｈ．　一０　Ｙ　｜　’Ｐ　１　．１　ｈ　ｉ．７　ｆ　＼　＼　根据这个结果可得平行两底且平分梯形　面积的直线的尺规作法．　思考２：还有这样的两条直线四等分梯形　的面积吗？　作法：（１）如图８（１），作两个直角边分别为　ａ、ｂ的等腰直角三角形，再作直角边为　０、　、／／２６的Ｒｔ△《＝）　，取斜边ＯＶ的中点　，在　ＯＸ￣￣ａ　ＸＴ一。，则（＝）　一—ｘ／２ａ２　＋２ｂ２—一。．　．．　６。Ｌ　＼　＼、＜　图８　（２）如图８（２），作６一ｎ、ｈ、—Ｖ￣２ａ２　＋２ｂ２—一　ａ的第四比例项Ｙ．　（３）如图７，在ＡＳ截取ＡＰ＝Ｙ，过点Ｐ作　ＥＦ／／ＡＤ，分别交　Ｂ、ＣＤ于点Ｅ、Ｆ，即ＥＦ　平分梯形ＡＢ　Ｄ的面积．　（４）分别取ＡＤ、Ｂ　的中点Ｍ、Ⅳ，连结　Ｍ　Ｎ．　则直线ＥＦ、ＭⅣ将梯形ＡＢＣＤ面积四　等分．　４．中考应用　图形面积等分问题常常出现在中考题中，　通常采用转化与化归的思想方法化难为易．　例１（２００６年汉川市中考题）我们把能平　分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的　作图，可以得到四边形的“好线”：如图９（１）在　四边形ＡＢＣＤ中，取对角线ＢＤ的中点Ｏ，连　结ＯＡ、ＯＣ．显然，折线Ａ０　能平分四边形　ＡＢＣＤ的面积，再过点０作ＯＥ／／ＡＣ交　Ｄ于　Ｅ，则直线ＡＥ即为一条“好线”．　ｆ１）试说明直线ＡＥ是“好线”的理由；　２０１５年第９期　数学教学　９－１１　圆锥曲线一个有趣性质的简证　３１２０００浙江省绍兴市鲁迅中学　董泉发　最近笔者在研究几何画板时，发现可以从　ｂｓｉｎｆ１），这里，　≠０，７ｒ且　、ＯＬ、Ｚ（ｅ［０，２７ｒ））均　不相等，则直线ＰＡ的斜率为一ｂａ　三角变换的角度来证明圆锥曲线的一条统一性　质，在这里与同仁分享．　定理设点Ｐ是圆锥曲线Ｅ上一定点，　ＪＥ；是圆锥曲线Ｅ上异于点Ｐ的两个不同点，且　满足：直线Ｐ　和直线ＰＢ的斜率互为相反数，　则直线ＡＢ的斜率为定值．　证明：（１）　为椭圆（见图１）．　ｓｉｎｏ￣－———ｓｉｎ　０—．—，　ｃｏｓ　—ＣｏＳ　／　Ｂ￣－－－－－－　／　图１　Ｐ　～　不妨设Ｅ的参数方程为｛ｘ＝，ａｃ．ｏｓ　，设点　ＬＹ＝：＝０Ｓ１ｎ　－　Ｐ（ａＣＯＳ　，ｂｓｉｎ　）、Ａ（ａＣＯＳ　，ｂｓｉｎＯＬ）、Ｂ（ａＣＯＳ　，　（２）如图９（２），ＡＥ为一条“好线”，Ｆ为ＡＤ　边上的一点，请作出经过点Ｆ的“好线”，并对　Ｄ　画图作适当说明（不需要说明理由）．　Ｄ　Ｄ　Ｃ　Ｃ　Ｃ　（１）　（２）　图９　（３）　例２　ｆ２０１３年陕西省中考题）问题探究：　（１）请在图１０（１）中作出两条直线，使它们　将圆面四等分；　（２）如图１０（２），Ｍ是正方形ＡＢＣ　内一　定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直　线必须过点Ｍ１使它们将正方形ＡＢＣＤ的面　积四等分，并说明理由．　问题解决：　图ｌ０　图形面积的平分问题符合新课标理念，既　能训练学生思维能力，又能锻炼学生动手操作　能力．陶行知先生说：“发明千千万，起点是一　问”，所以，培养学生的问题意识是创新的起点，　是造就创新人才的关键．学生只有在不断地试　图提出问题，克服一切困难、努力解决问题的　过程中勇于探索，才会培养出科学的探索精神　和创新品质．　参考文献　（３）如图１０（３），在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ／／　Ｄ，　Ｂ＋　Ｄ＝ＢＣ，点Ｐ是ＡＤ的中点，如　果ＡＢ＝ａ，ＣＤ＝ｂ，且ｂ＞ａ，那么在边Ｂ　上是否存在一点Ｑ，使ＰＱ所在直线将四边　形ＡＢＣＤ的面积分成相等的两部分？如若存　在，求出ＢＱ的长；若不存在，说明理由．　［１】李发勇．三角形面积平分线的作图问　题　．数学教学ｙ２０１１（８）：１６—１８．　［２］义务教育课程标准实验教材八年级数　学（下）［Ｍ１．上海：华东师大出版社，２０１３．