一元一次方程培优讲义

#### 知识点： 年级 ### 性别 # 教学课题 一元一次方程培优 教学 考 点： 目标 方 法：讲解和练习 教学重点； 教学难点； 重点难点 课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________ 一元一次方程复习提高 要点一：方程及一元一次方程的相关概念 方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。 一元一次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次的方程叫做一元一次方程。 教 学 内 容 其中“元”是指未知数，“一元”是指一个未知数；“次”是指含有未知数的项的最高次数，“一次”是指含有未知数的项的最高次数是一次。 等式、方程、一元一次方程的区别和联系： 等式 方程 区别 用等号连接的式子。 含有未知数的等式。 举例 联系 3+2=5，x+1=0 都是X+1=0，x+y=2 用等号连一元一次方程两边都是整式，只含有一个未知数并且X+1=0，25方程 未知数的指数是一次的方程。 接的式子 y+1=1y 2方程的解的概念： 使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 （1）解方程的概念：求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。 （2）判断一个未知数的值是不是方程的解：将未知数的值代入方程，看左右两边的值是否相等，能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。否则就不是方程的解。 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。 重点题型总结及应用 知识点一：一元一次方程的概念 例1、 已知下列各式： ①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦1x－y＝x2；⑤3x＋y＝6； 2一般步骤 （1）去分母 （2）去括号 注意点 方程的每一项都要乘以最简公分母 去掉括号，括号内的每项符号都要同时变或不变 （3）移项 （4）合并同类项 移项要变号 只要把系数合并，字母和它的指数不变。 （5）方程两边同除相除时系数不等于0。若为0，则方程可能无以未知数的系数 解或有无穷多解。 11－＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是( ) mnA、5 B、6 C、7 D、8 举一反三： 【变式1】判断下列哪些方程是一元一次方程： （1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+1=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2) x【变式2】若关于x的方程mxm2m30是一个一元一次方程，则m_______． k2【变式3】若关于x的方程k2xkx0是一元一次方程，则k_______ 23【变式4】若关于x的方程m2xm3mx5是一元一次方程，则m_______． 【变式5】若关于x的方程m2(m2)x2(m2)x5是一元一次方程， 则m_______． 【变式6】已知：(a－3)(2a＋5)x＋(a－3)y＋6＝0是关于x的一元一次方程， 则a=_______． 知识点二：方程的解 题型一：已知方程的解，求未知常数 例2、当k取何值时，关于x的方程举一反三： 已知4xk5x0.8kx的解为x2 0.50.20.1y（1）当m4时，求y的值；（2）当y4时，求m的值． mmym．2题型二：已知一方程的解，求另一方程的解 例3、已知x1是关于x的方程1(mx)2x的解，解关于y的方程：m(y3)2m(2y5)． 13题型三：同解问题 例4、方程2x33与1举一反三： 3ax0的解相同，求a的值. 3【变式1】已知方程4x2m3x1与方程3x2m6x1的解相同． （1）求m的值；（2）求代数式(m)2010(2m2)2011的值． 【变式2】已知方程2k 的值. 【变式3】方程23(x1)0的解与关于x的方程求k的值。 题型四：已知方程解的情况，求未知常数的取值范围 例5、要使方程ax=a的解为1,则( ) A.a可取任何有理数 B.a＞0 C. a＜0 D.a≠0 例6、关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a的值为( ) A. 2 B. 3 C.1或2 D.2或3 举一反三： 已知方程2ax=(a＋1)x+6,求a为何整数时,方程的解是正整数. 知识点三：等式的性质（方程变形——解方程的重要依据） 注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为 ， 如方程：x11xkx222x的解相同，求3x与方程43k323432kx3k22x的解互为倒数， 2x3x4－=1.6，将其化为： － =1.6。方程的右边没0.20.5有变化， 这要与“去分母”区别开。 例7、下列等式变形正确的是( ) A.若xy,则x5y5 B. 若ab,则acbc C.若abxy,则2a3b D. 若xy,则 mmcc举一反三： 1、若axay,下列变形不一定正确的是( ) 11A. ax5by5 B. ax3by3 C. axay D. xy 332、下列等式变形错误的是( ) A.由a=b得a+5=b+5 B.由a=b得6a=6b C.由x+2=y+2得x=y D.由x÷3=3÷y得x=y 3、运用等式性质进行的变形,正确的是( ) A.如果a=b 那么a+c=b-c; B.如果6＋a=b-6 那么a=b; C.如果a=b 那么a×3=b÷3 ; D.如果a2=3a 那么a=3 4、下列等式变形错误的是( ) A.由a=b得a+5=b+5 B.由a=b得得x=-y 5、运用等式性质进行的变形,正确的是( ) A.如果a=b,那么a+c=b-c; B.如果 C.如果a=b,那么ab,那么a=b; ccab C.由x+2=y+2得x=y D.由-3x=-3y99ab; D.如果a2=3a,那么a=3 cc6、如果ma=mb，那么下列等式中不一定成立的是（ ） 11A. ma+1=mb+1 B.ma—3=mb—3 C. a=b D. mamb 227、运用等式性质进行的变形,正确的是( )。 A.如果a=b,那么a+c=b-c; B.如果 C.如果a=b,那么ab,那么a=b; ccab D.如果a23a,那么a=3 cc知识点四：解一元一次方程的一般步骤： 例8、（用常规方法）解方程：1x12x1 =223（非常规方法解方程）（一）巧凑整数解方程 例9、解方程：11925＋x＝－x 9797思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为 ， 常数项和为 ，故直接移项凑成 比先去分母简单。 举一反三： 【变式】解方程：0.4x＋0.90.04＋0.3x－＝2x－5 0.050.02（二）巧用观察法解方程 例10、解方程：(y＋1)＋(y＋2)＝3－(y＋3) （三）巧去括号法解方程 含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。 ＋4－6＝1 例11、解方程：342133x－5121314思路点拨：因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从 向 去括号可以使计算简单。 举一反三：【变式】解方程：x－2－2－2－2＝2 222（四）运用拆项法解方程 在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后 再合并，有时可以使运算简便。 例12、解方程：x＋32－3x5－＝ 482111思路点拨：注意到_____________________，这样逆用分数加减法法则，可使计算简便。 （五）巧去分母解方程 当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现 比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基 本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。 x1.3－2x－例13、解方程：＝1 0.070.7（六）巧组合解方程 例14、解方程：x－5x＋5x－32x＋3＋＝＋ 3849思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 化去分母，但运算较复杂，注意到左边 的第一项和右边的第 项中的分母有公约数 ，左边的第 项和右 边的第一项的分母有公约数 ，移项局部通分化简，可简化解题过程。 （七）巧解含有绝对值的方程 解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。 对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个 一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则_________________________。 例15、解方程：|x－2|－3＝0 解法一： 解法二： 举一反三： 【变式1】5|x|－16＝3|x|－4 【变式2】 3x124 解一元一次方程常用的技巧有： （1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。 （2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。 （3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。 （4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。 知识点五：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用 题型一：方程有唯一解 例16、若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解. 题型二：方程有无数解 例17、关于x的方程3x－4=a－bx有无穷多个解,则a. b的值应是( ) A. a=4, b=－3 B.a=－4, b=－3 C. a=4 , b=3 D.a .b可取任意数 题型三：方程无解 xx1例18、已知关于x的方程a(x6)无解，则a的值是（ ） 326 A.1 B.-1 C.±1 D.不等于1的数 举一反三： 1、已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值． 2、若关于x的方程 ︳2x－1 ︳+m=0无解,则m=____________. 3.(1)关于x的方程4k(x+2)－1=2x无解,求k的值; (2)关于x的方程kx－k=2x－5的解为正数,求k的取值范围. 4、已知关于x的方程a(2x－1)=4x+3b,当a、b为何值时: (1)方程有唯一解? (2)方程有无数解? (3)方程没有解? 总结升华： 理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况 (1)a≠0时，方程有唯一解x=b； a (2)a=0，b=0时，方程有无数个解； (3)a=0，b≠0时，方程无解。 老师的建议： 老师 课后 赏识 评价 课时达标作业对应作业。复习一元一次方程。 1、掌握知识点 2、做题时要细心。 【家庭作业】