二分法,牛顿法,梯形法原理及流程图

Y f（x）=0 N f(x)= x2-2x-1 x=(a+b)/2 输入区间[a,b]，精度 开始 N Y N /x1-x2/＜ a=x f(x)f(a)<0 b=x Y 结束 输出x 二分法基本思路：

一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时，若f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。 解方程即要求f(x)的所有零点。 假定f(x)在区间（x，y）上连续 先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2],

现在假设f(a)<0,f(b)>0,a① 如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，

如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2>=a，从①开始继续使用

② 中点函数值判断。

如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2<=b，从①开始继续使用 中点函数值判断。 这样就可以不断接近零点。

通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。

从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。另外，二分法不能计算复根和重根。

二分法步骤：

用二分法求方程f(x)0的根x*的近似值xk的步骤

① 若对于ab有f(a)f(b)0，则在(a,b)内f(x)0至少有一个根。 ② 取a,b的中点x1ab计算f(x1) 2③ 若f(x1)0则x1是f(x)0的根，停止计算，

*运行后输出结果xx1

若f(a)f(x1)0则在(a,x1)内f(x)0至少有一个根。取a1a,b1x1； 若f(a)f(x1)0，则取a1x1,b1b；

1bkak④ 若2（为预先给定的要求精度）退出计算，运行后输出结果

x*akbk2，反之，返回步骤1，重复步骤1,2,3

二分法Mtalab程序

syms x;

fun=input('(输入函数形式)fx='); a=input('（输入二分法下限）a=');

b=input('（输入二分法上限）b=');

d=input('输入误差限 d=')%二分法求根 %f=inline(x^2-4*x+4);

%修改需要求解的inline函数的函数体 f=inline(fun);%修改需要求解的inline函数的函数体 e=b-a; k=0 ;

while e>d c=(a+b)/2; if f(a)*f(c)<0 b=c; elseif f(a)*f(c)>0 a=c; else

a=c;b=c end

e=e/2; k=k+1; end

x=(a+b)/2; x%x为答案 k%k为次数

2，牛顿法及流程图：

方程f(x)=0的根就是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标x*，当初始近似值x0选取后，过( x0,f(x0))作切线，其切线方程为：y- f(x0)=f′(x0)(x-x0)

它与x轴交点的横坐标为x 一般地，设 是x*的第n次近似值，过( x,f(x))作y=f(x)的切线，其切线与x轴交点的横坐标为：x = - 即用切线与x轴交点的横坐标近似代

曲线与x轴交点的横坐标，如图

牛顿法正因为有此明显的几何意义，所以也叫切线法。

流程图如下：

开始  ，N 输入 x 0，1=>k ) =0? f' ( x0 Yx0f(x0)f'(x0)N=>x1 ∣x1-xo∣< ? k+1=>k x1=>x0 YNNK=N ? Y输出迭代失败标志 输出x1 输出奇异标志 结束

3，梯形法及流程图：

梯形法就是将该积分约等于若干个小梯形面积之和，第一个小梯形的面积等为s1=h(f(a)+f(a+h))/2,第二个小梯形的面积为

s2=h(f(a+h)+f(a+2h))/2，…… ，

第i个小梯形的面积为si=h(f(a+(i-1)h)+f(a+ih))/2

1n-1 故有bf(x)=s=h[(f(a)+f(b))+nf(a+ih)]ai=1ii=12

梯形法的迭代公式为:

(0)yn1ynh*f(xn,yn)h(k1)(k)yyf(xn,yn)f(xn1,ynn1n1

2(k0,1,2,).流程图如下：