全等三角形
一、选择题
1.（2013贵州安顺，5，3分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 【答案】：B．
【解析】∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE， A．∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确； C．∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误； D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C， ∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
【方法指导】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 【易错警示】注意：不能应用SSA证明两个三角形全等．
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2．（2013山东临沂，10，3分）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） ．．．
A B C A．AB＝AD 【答案】：C．
B．AC平分∠BCD
E D
D．△BEC≌△DEC
C．AB＝BD
【解析】因为AC垂直平分BD，所以△BEC≌△DEC，△BEA≌△DEA，所以AB＝AD, AC平分∠BCD.
【方法指导】通过垂直平分线的性质，得到相等的线段或相等的角，从而找到全等三角形。 3．(2013湖南邵阳,10,3分)如图(三)所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO.下列结论不正确的是( ) A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC 【答案】：C．
【解析】：∵AD=DE，DO∥AB， ∴OD为△ABE的中位线， ∴OD=OC，
∵在Rt△AOD和Rt△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（HL）； ∵在Rt△AOD和Rt△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（HL）； ∵△AOD≌△EOD， ∴△BOC≌△EOD； 故B、C、D均正确．
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故选A．
【方法指导】：本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．（2013浙江台州，10，4分）已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A．①正确， ② 错误 B． ①错误， ②正确 C．①，② 都错误 D． ①，② 都正确 【答案】：A．
BC【解析】由于△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等，若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则BC1122，
根据边边边定理，易得△A1B1C1≌△A2B2C2∴①正确；若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则∠C1=∠C2，根据相似三角形的判定定理，易得△A1B1C1∽△A2B2C2，∴② 错误。 【方法指导】本题考查全等三角形的判定定理、相似三角形的判定定理。
【易错警示】在全等三角形的判定定理中，不能利用“角角角”判定两个三角形全等。 5．（2013贵州安顺，5，3分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 考点：全等三角形的判定．
分析：求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 解答：解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， ∴AF=CE，
A．∵在△ADF和△CBE中
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∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确； C．∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误； D．∵AD∥BC， ∴∠A=∠C，
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误； 故选B．
点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
6 . [2013湖南邵阳，10，3分]如图(三)所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO.下列结论不正确的是( ) A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
BCDEAO
知识考点：矩形的性质，全等三角形的判定.
图（三） 审题要津：由矩形ABCD可得AD=BC,AD∥BC,∠ADO=∠EOD=∠C=90°,又因为
AD=DE，所以AD=BC=DE.所以∠DAO=∠E=∠OBC.
满分解答：解：在△ADO和△EOD中，AD=DE，∠ADO=∠EOD=90°，DO=OD，所以△ADO≌△EOD.所以AO=EO.在△BCO和△EOD中，BC=DE，∠C=∠EOD=90°，∠OBC=∠E，所以△BCO≌△EOD.所以CO=DO.在△ADO和△BOC中，AD=BC，∠ADO=∠C=90°，CO=DO，所以△ADO≌△BOC.故选A.
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名师点评：熟练掌握三角形全等的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键. 7.（2013陕西，7，3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AB=AD，CB=CD， 若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对
B．2对
C．3对 D．4对
考点：全等三角形的判定。
解析：AB=AD， CB=CD，AC公用，因此△ABC≌△ADC（SSS）， 所以BAO=DAO，BCO=DCO， 所以△BAO≌△DAO（SAS）， △BCO≌△DCO（SAS），故选C
8.（2013四川乐山，5，3分）如图，点E是ABCD的边CD的
中点，AD、BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则ABCD的周长为【 】
A．5 B．7 C．10 D．14
二、填空题
1．（2013山东德州，17，4分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF②∠AEB＝750③BE+DF＝EF④S正方形ABCD＝2+3，其中正确的序号是 。（把你认为正确的都填上）
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【答案】①②④.
【解析】∵在正方形ABCD与等边三角形AEF中，∴AB=BC=CD=DA，AE=EF=AF， ∴△ABE≌△ADF，∴DF=BE，有DC-DF=BC-BE，即 CE＝CF，①正确；∵CE=CF，∠C=90°，∴∠FEC=45°，而∠AEF=60°，∴∠AEB＝180°-60°-45°=75°，②正确；根据分析BE+DF≠EF，③不正确；在等腰直角三角形CEF中，CE=CF=EF·sin45°=2.在Rt△ADF中，设AD=x，
222则DF=x-2，根据勾股定理可得，x（x2）2，解得，x1=
26， 2x2262622（舍去）. 所以正方形ABCD面积为x（）=2+3，④正确. 22【方法指导】本题考查正方形与等边三角形.本题涉及正方形、等边三角形相关知识，同时应用勾股定理、全等三角形等解题.具有一定的综合性.解题的关键是对所给命题运用相关知识逐一验证.
2．（2013白银，15，4分）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 AC=CD ．（答案不唯一，只需填一个）
考点： 全等三角形的判定． 专题： 开放型． 分析： 可以添加条件AC=CD，再由条件∠BCE=∠ACD，可得∠ACB=∠DCE，再加上条件CB=EC，可根据SAS定理证明△ABC≌△DEC． 解答： 解：添加条件：AC=CD， ∵∠BCE=∠ACD， ∴∠ACB=∠DCE， - 6 -
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在△ABC和△DEC中∴△ABC≌△DEC（SAS）， 故答案为：AC=CD（答案不唯一）． ， 点评： 此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 3．（2013湖南郴州，14，3分）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 ∠B=∠C（答案不唯一） （只写一个条件即可）．
考点： 全等三角形的判定． 专题： 开放型． 分析： 由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS进行全等的判定，答案不唯一． 解答： 解：添加∠B=∠C． 在△ABE和△ACD中，∵∴△ABE≌△ACD（AAS）． 故答案可为：∠B=∠C． 点评： 本题考查了全等三角形的判定，属于开放型题目，解答本题需要同学们熟练掌握三角形全等的几种判定定理． 4.（2013湖南娄底，12，4分）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 ∠B=∠C或AE=AD （添加一个条件即可）．
， - 7 -
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考点： 全等三角形的判定． 专题： 开放型． 分析： 要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等或添加一个角从而利用AAS来判定其全等． 解答： 解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD． 故填∠B=∠C或AE=AD． 点评： 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
三、解答题
1． (2013湖北荆门，19，9分)如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． (1)求证：BE＝CE；
(2)若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图2，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．
求证：△AEF≌△BCF．
A
A
E B D C
(第19题图1)
【思路分析】(1)证△ABE≌△ACE即可．
E
F
B D C (第19题图2)
(2)△AEF和△BCF已具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等．由∠BAC＝45°可知ABF为等腰直角三角形，于是找到对应边AF，BF相等． 【解】证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE． 在△ABE和△ACE中，
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∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE， △ABE≌△ACE． ∴BE＝CE．
(2)∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF． 由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF．
在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF， ∴△AEF≌△BCF．
【方法指导】证三角形全等，关键是证角相等或边相等．全等三角形的判定方法有：SAS、ASA、AAS、SSS和HL（HL为直角三角形专用）．等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用． 2.（2013山东德州,23,10分）
（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD。请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE。连接BE，CD。BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=450，∠CAE=900，AB=BC=100米，AC=AE。求BE的长。
【思路分析】（1）根据题目要求进行尺规作图，并加以证明其它结论；（2）用三角形全等分析BE与CD相等关系；（3）构件建几何模型解（添加辅助线、运用勾股定理）决实际问题. 【解】（1）完成作图，字母标注正确。
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证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形。 ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=600。 ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC 即∠CAD=∠EAB ∴△CAD≌△EAB ∴BE=CD （2）BE=CD 理由同（1）：
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD=∠CAE=900 ∴∠CAD=∠EAB ∴△CAD≌△EAB ∴BE=CD
（3）由（1）（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD =900，则AD＝AB＝1000，∠ABD＝450， ∴BD＝1002
连接CD，则由（2）可得BE＝CD。 ∵∠ABC＝450， ∴∠DBC＝900，
在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝1002
22∴CD＝100(1002)＝1003
∴BE的长为1003米
【方法指导】本题考查了与等边三角形、正方形的全等应用实践操作、探究题.图形与几何的实践、探究题，是新中考比较热点的命题方向. 3．（2013山东菏泽，16，12分）(每题6分)
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（1）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BD，连结AE、DE、DC. ①求证：△ABE≌△CBD； ②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数.
【思路分析】①根据题意可以寻找△ABE≌△CBD
A 的条件SAS即可；②可以经过证△ABE≌△CBD
B
，然后根据角的和差进行计算. 【解】（1）①证明:∵∠ABC=90°
∴∠ABE=∠CBD=90° 在△ABE与△CBD中
D
E C
（第16题）
ABCB∵ABECBD BEBD∴△ABE≌△CBD…………………………………………3分 ②解：在△ABC中∵AB=CB，∠ABC=90° ∴∠CAB=45° ∵∠CAE=30°
∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=15° ∵△ABE≌△CBD ∴∠BAE=∠BCD=15°
∴∠BDC=90°-15°=75°…………………………………………6分
【方法指导】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，HL．解决此题，利用等腰三角形性质可以寻找需要的边、角.
（2）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投 放市场，现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情 况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天; 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍. 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.
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【思路分析】构建分式方程模型解决实际问题.设甲工厂每天能加工x件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x件新产品.
【解】设甲工厂每天能加工x件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x件新产品. 由题意得：解得：x40
经检验：x40是原方程的解，并且符合题意。
∴1.5x=60…………………………………………………………………………5分 答:甲、乙两个工厂每天能加工新产品的件数分别为40件、60件。………6分
【方法指导】本题考查了列分式方程解应用题，列方程的关键是要先找到等量关系，再依题意列出方程． 列分式方程解应用题时，一定要注意检验有两层：验根和验题意. 4．（2013山东日照，18，10分）（本题满分10分）
如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边B D延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC. ⑴求证：△BAD≌△AEC；
⑵若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积.
【思路分析】（1）利用边角边可以证明两个三角形全等；
（2）过点A作AG⊥BC,垂足为G，只要求出AG的长就可以求出平行四边形ABCD的面积。 【解】（1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
又 ∵四边形ABDE是平行四边形
∴AE∥BD， AE=BD，∴∠ACB=∠CAE=∠B， ∴⊿DBA≌⊿AEC(SAS) ………………4分 （2）过A作AG⊥BC,垂足为G.设AG=x，
在Rt△AGD中，∵∠ADC=450，∴AG=DG=x，
在Rt△AGB中，∵∠B=300，∴BG=3x，………………6分
又∵BD=10.
∴BG-DG=BD,即3xx10，解得AG=x=
1200120010…………………………………………3分 x1.5x1031535.…………………8分
∴S平行四边形ABDE=BD·AG=10×（535）=50350.………………10分
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【方法指导】本题考查几何时简单证明，特别是在求图形的面积时，如果是规则图形就是找到底边和高线即可，如果不是规则图形，可以通过转化思想转化成几个规则图形的面积和或是差的问题即可。
5．（2013四川凉山州，21，8分）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AFCE。
求证：FDBE。[w@ww^.z*zstep.com%~]
A
F
D
B O E （第21题图）
C
:*中教网&]【思路分析】要证明的两条线段分别在两个三角形中，只要证明这两个三角形全等，利用全等三角形的性质就可证明。 [来*~源#:中国教育出版网&%] 【解】证明：如图，
∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴△ABO≌△CDO。 ∴OA=OD，OB=OD。∵AFCE，∴OA-AF=OC-CE。即OF=OE. ∵∠FOD=∠EOB, ∴△FOD≌△EOB, ∴FD=BE.
【方法指导】证明线段相等时,如果在一个三角形中可证明这个三角形是等腰三角形,如果没有在一个三角形中,可以证明这两条线段所在的两个三角形全等,还可以通过这两条线段都与第三条线段相等,从而证明这两打线段.在遇到问题.
6．（2013广东湛江，19，8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AC=DF．
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ABFCED
【思路分析】本题要证的AC和DF分别在△ABC和△DEF中，用角边角来证这两个三角形全等即可。
【解】证明：∵FB=CE ∴BC=EF
∵ AB∥ED ∴∠B=∠E ∵ AC∥EF ∴∠ACB=∠DFE ∴△ABC≌△DEF ∴AC=DF
【方法指导】对于仅由三角形组成的简单的几何图形中，要证两条线段相等，通常可以思考以下几种模式：1、证两条线段所在的三角形全等；2、证这两条线段等于第三条线段；3、利用等角对等边来证。
7. （2013四川宜宾，19，6分）如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F． 求证：△ABC≌△DEF．
【思路分析】根据“角边角”可证出△ABC≌△DEF． 【解】证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF． ∵BE=CF，∴BC=EF．
∵∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF．
【方法指导】由平行可得到角的关系，本题中的EC既是线段BC的一部分又是线段EF的一部分，注意类似线段EC这种线段的应用.
8．（2013江西，23，10分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历
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了如下过程： ●操作发现：
在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三
角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG=
1AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB． 2●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如．．图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状． 答： ．
【思路分析】（1） 由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DMB=45°也正确；（2）直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1△DFM≌△MGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MD⊥ME就是要证∠DME=90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四个角相加为180°，∠FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DME=90°． （3）只要结论，不要过程，在（2）的基础易知为等腰直角三解形.
[解]●操作发现：①②③④ 答：MD=ME，MD⊥ME， 先证MD=ME；
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如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG， ∵M是BC的中点， ∴MF∥AC，MF=
1AC， 21AC， 2又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线， ∴EG⊥AC且EG=∴MF=EG， 同理可证DF=MG， ∵MF∥AC， ∠MFA=∠BAC=180°
同事可得∠MGA+∠BAC=180°， ∴∠MFA=∠MGA，
又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°， 同理可得∠DFA=90°，
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA， 即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG， ∴△DFM≌△MGE（SAS）， ∴MD=ME， 再证MD⊥ME； 证法一：∵MG∥AB， ∴∠MFA+∠FMG=180°，
又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF， ∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°， 其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°， ∴∠DME=90°， 即MD⊥ME；
证法二：如图2，MD与AB交于点H， ∵AB∥MG， ∴∠DHA=∠DMG， 又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH
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即∠DHA=∠FDM+90° ∵∠DMG=∠DME+∠GME， ∴∠DME=90° 即MD⊥ME； ●类比探究 答：等腰直角三解形
【方法指导】本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高．
9．（2013年佛山市，22，8分）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推
理的方法证实．
(1) 叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS； (2) 证明推论AAS．
要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、 求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．
分析：（1）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （2）根据三角形内角和定理和全等三角形的判断定理ASA来证明．
解：（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（2）已知：在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF． 求证：△ABC≌△DEF．
证明：如图，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知）， ∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代换）．
又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理）， ∴∠B=∠E．
B E C
第22题图
F
A D - 17 -
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∴在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．
，
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．（2013广东珠海，14，6分）如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E； 求证：BC=DC．
考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 先求出∠ACB=∠ECD，再利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可． 解答： 证明：∵∠BCE=∠DCA， ∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE， 即∠ACB=∠ECD， 在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴BC=DC． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，求出相等的角∠ACB=∠ECD是解题的关键，也是本题的难点． 11．（2013·鞍山，25，10分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE． （1）求证：CE＝CF；
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（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题：证明题；探究型．
分析：（1）由DF＝BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE＝CF． （2）由（1）得，CE＝CF，∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD即∠ECF＝∠BCD＝90°又∠GCE＝45°所以可得∠GCE＝∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG＝FG＝GD+DF．又因为DF＝BE，所以可证出GE＝BE+GD成立． 解答：（1）证明：在正方形ABCD中，
∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE＝CF．（3分） （2）解：GE＝BE+GD成立．（4分）
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，（5分） ∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，（6分） 又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE＝GF．（7分）∴GE＝DF+GD＝BE+GD．（8分）
点评：本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．
12．（2013•东营，23，10分） (1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明:DE=BD+CE． (2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立?
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如成立，请你给出证明;若不成立，请说明理由．
(3) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
C
B A （图1）
C B B A （图2） （第23题图）
F C m D E m D E m D A （图3）
E
分析：（1）因为DE=DA+AE，故通过证BDAAEC，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．
（2）成立，仍然通过证明BDAAEC，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD． （3）由BDAAEC得BD=AE，BDAEAC，ABF与ACF均等边三角形，得FBAFAC60，FB=FA，所以FBADBAFAC，即，B所以BDFAEF，所以FD=FE，BFDAFE，再根据FBDFABFDDFABFA60，得AFEDFA60，即DFE60，故DFE是等边三角形．
证明：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m
∴∠BDA＝∠CEA=90° ∵∠BAC＝90° ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠ABD=90°
∴∠CAE=∠ABD………………1分 又AB=AC
∴△ADB≌△CEA………………2分
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∴AE=BD，AD=CE
∴DE=AE+AD= BD+CE ………………3分 (2)∵∠BDA =∠BAC=，
C B A （图2）
D E m
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°— ∴∠DBA=∠CAE………………4分 ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC ∴△ADB≌△CEA………………5分 ∴AE=BD，AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE………………6分 （3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA =∠CAE
∵△ABF和△ACF均为等边三角形 ∴∠ABF=∠CAF=60°
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ∴∠DBF=∠FAE………………8分 ∵BF=AF
∴△DBF≌△EAF………………9分 ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°
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∴△DEF为等边三角形．………………10分
点拨：利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法．
13 （2013杭州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．
求证：△GAB是等腰三角形．
【思路分析】由在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE=CF，利用SAS，易证得△ADE≌△BCF，即可得∠DAE=∠CBF，则可得∠GAB=∠GBA，然后由等角对等边，证得：△GAB是等腰三角形
【解析】证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC， ∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA， 在△ADE和△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴∠DAE=∠CBF， ∴∠GAB=∠GBA， ∴GA=GB，
即△GAB为等腰三角形．
【方法指导】此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用
14. (2013•嘉兴8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：△ABE≌DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？
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【思路分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；
（2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可．
【解析】1）证明：∵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE， ∴BE=EC， ∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°， ∴∠EBC=25°
【方法指导】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力
15（2013上海市，23，12分）如图8，在△ABC中，ABC=900， BA，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，
ACF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）求证：DEEF；
（2）联结CD，过点D作DC的垂线交CF的 延长线于点G，求证：BADGC．
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DEFB图8
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16.（2013陕西，18，6分）如图，∠AOB=90°，OA=0B，直线l经过点O,分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D.
求证：AD=OD.
考点：互余的性质应用、垂直的性质及三角形全等的判定。 解析： ∵∠AOB=90°∴∠AOC+∠BOD=90° ∵AC⊥l，BD⊥l ∴∠ACO=∠BDO=90° ∴∠A+∠AOC=90°∴∠A=∠BOD
又∵OA=OB ∴△AOC≌△OBD（AAS） ∴AC=OD
17.（2013四川内江，18，8分）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．
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考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 专题：证明题． 分析：根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出 ∠ACE=∠BCD，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明． 解答：证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACD=∠DCE=90°， ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD=AE． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等 的性质，熟记各性质是解题的关键．
18（2013四川遂宁，19，9分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证： （1）△ADE≌△CDF； （2）四边形ABCD是菱形．
，
考点：菱 形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 专题：证 明题． 分析：（ 1）首先根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定得出即可； - 25 -
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（2）根据菱形的判定得出即可． 解答：解 ：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC ∴∠AED=∠CFD=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C， ∵在△AED和△CFD中 ∴△AED≌△CFD（AAS）； （2）∵△AED≌△CFD， ∴AD=CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 点评：此 题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出∠A=∠C是解题关键．
12．（2013湖北省十堰市，1，6分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 专题： 证明题． 分析： 利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论． - 26 -
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解答： 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△ABD与△ACE中， ∵， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对等角得到∠B=∠C．
19．（2013河南省，22，10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C90,BE30.
（1）操作发现
如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转。当点D恰好落在AB边上时，填空：
① 线段DE与AC的位置关系是 ； ② 设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2。则S1与S2的数量关系是 。
【解析】①由旋转可知：AC=DC，
∵C90,BE30，∴AD60
∴△ADC是等边三角形，∴ACD60,又∵CDE60 ∴DE∥AC
②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB
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交AB于点F。
由①可知：△ADC是等边三角形,DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM ∴CF=EM
∵C90,B30，∴AB2AC,又∵ADAC
∴BDAC
∵S111 ∴S1=S2 CFBD S2ACEM22（2）猜想论证
当DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC,CE边上的高，请你证明小明的猜想。
【证明】∵DCEACB90,DCMACE180
又∵ACNACE180,ACNDCM
又∵CNACMD90,ACCD
∴△ANC≌△DMC ∴AN=DM
又∵CE=CB,∴S1S2
（3）拓展探究
已知ABC60，点D是其角平分线上一点，
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，若在射线BA上存在点F，使BDCD4，OE∥AB交BC于点E（如图4）
SDCFS,请直接写出相应的BDC．．．．
BF的长
【解析】如图所示，作DF1∥BC交BA于点F1,作DF2BD交BA于点F2。
按照（1）（2）求解的方法可以计算出
BF3143
BF8323- 29 -
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