关于线性和非线性系统内在的本质联系——多自由度非线性系统的定量和定性分析

维普资讯 http://www.cqvip.com 振动与冲击　第２７卷第１期　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ　ＡＮＤ　ＳＨＯＣＫ　关于线性和非线性系统内在的本质联系　——多自由度非线性系统的定量和定性分析　郑兆昌　（清华大学航天航空学院工程动力学研究所，北京１０００８４）　摘　要：多自由度非线性振动问题是历史性国际难题，其求解方法有数值解和渐近解析解或两者结合。基于近代　有限元和子结构模态综合法的动力学建模方法，获得非线性系统动力学微分方程，其自由度几乎没有限制，对左端首次近　似齐次方程进行模态分析，选取对响应有贡献的部分本征对，同样对右端激励和非线性伪力作模态变换，得到减缩后非线　性系统耦合动力学微分方程。用数值方法求出系统非线性响应进行定量分析，也可获得在指定参数的变动中可能发生的　主谐、超谐、亚谐和组合共振，极限环和分岔、混沌等各种非线性振动现象，但其缺点是不能作一般性定性分析。渐近解析　解可进行分岔混沌现象的定性分析，但迄今只限于单、两自由度系统。若系统进入共振状态，系统响应相应急剧增加到大　振幅振动，振动从微幅线性振动过渡到大幅非线性振动，因之系统运动主要由所涉及的各阶单一主模态所控制。这可称　为“单模态共振理论”。当发生共振时，单模态理论可把多自由度系统变换为解耦的多个单自由度系统，因之可采用渐近　解析法逐个进行分岔混沌等定性分析，这就克服了高自由度非线性系统定性分析的困难。为了剖析线性和非线性系统内　在的本质联系，论证了首次近似表征线性系统特性的主模态是沟通线性振动和非线性振动之间的桥梁，揭示了高自由度　线性振动和非线性振动都是以线性主模态呈现其运动规律。　关键词：动力学建模方法；非线性振动响应数值解法；渐近奇异摄动法；主模态；ＳＹ岔　中图分类号：０３２２　文献标识码：Ａ　多自由度非线性系统的求解之难题，长期以来受　阶主模态所控制，这一分析方法和非线性振动的渐近　到历史性挑战，从数学角度，即使是单、双自由度非线　解析解相融合，线性系统主模态犹如杠杆撬开了高自　性系统，但从工程实用要求，绝非单、双自由度能予描　由度非线性系统定性、定量分析的大门。隐藏在线性　述，随着计算机和计算技术的迅猛发展，为了更接近描　振动背后的高自由度非线性振动的千变万化现象，也　述真实系统，自由度更不断按量级增加，这种数学上的　将由少量主模态继续不断地被揭示出来，最低阶主模　追求和工程要求之间矛盾似乎日益增大。　态理论将对突发性严重毁灭性事件做出定性分析，从　以Ｎａｙｆｅｎ和Ｍｏｏｋ…为代表的各种非线性著作，迄　而成为可以预测和防止的重要手段。　今为止得到的渐近解析解只限于两自由度非线性振　作者所在研究室在上世纪７０年代末开始，针对工　动。Ａｒｎｏｌｄ曾指出　Ｊ：在众多的非线性振动问题中，线　程实际中大型机械／结构建造中存在的大量工程动力　性化导致适宜的近似解。即否如此，研究线性问题经　学问题的研究　，就是利用不断迅速发展的数字计　常是第一步，接着才是研究非线性系统和线性模态之　算机，提出了弱耦合　、陀螺模态　、主副子结构　等　间的运动关系。本文揭示了两种研究方法之间的内在　模态综合分析方法，应用于车辆、核工程　等，提出　的本质联系，表明孤立地研究线性振动和非线性振动　了适用于非线性响应分析的方法　并应用于各类海　方法，难以解决高于两自由度非线性振动分岔、混沌现　洋工程¨　“』，对直升机旋翼一机身耦合动力学的前飞　象的定性分析。　和悬停进行响应分析＿ｌ　，提出了用部件约束模态（梁、　本文论证了表征线性系统特性的主模态是沟通线　壳）组合成自由一自由大型火箭动力特性的分析方　性振动和非线性振动的桥梁。揭示了线性主模态在非　法¨　，长期以动态子结方法建立了大型转子一基础一　线性振动中虽不能解耦，但仍然以其耦合组合成高自　地基系统动力模型ｕ　，计及阻尼和陀螺效应高速旋　由度运动规律。在各种共振状态下呈现的大幅非线性　转的航空发动机双转子一轴承一机匣获得系统动力特　分岔现象，其运动将以更少的线性主模态，大都是以　性和线性动态响应　’　，工业透平成组叶片的动力特　单、双线性模态呈现出来。本文提出共振区大幅非线　性用于调频¨　。最后实现了大型机组转子一基础一　性振动甚至可近似采用单模态理论，发现适用于高自　地基系统油膜非线性的动态响应，并得到呈现半频油　由度非线性系统在共振状态下运动规律仍由对应于各　膜振动的倍周期分岔现象　，对液体火箭Ｐｏｇｏ振动的　非线性仿真表明，子结构方法也适用于时变非线性系　收稿１３期：２００７—１０—０８修改稿收到日期：２００７—１２—２４　统Ｈｏｐｆ分岔研究　。而且这一结构一管路流体耦合　第一作者郑兆昌男，博士生导师，教授，１９３３年生　非线性振动发生失稳就出现在基频的一阶模态，这将　维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期　郑兆昌：关于线性和非线性系统内在的本质联系　５　改变目前主要工程经验出发提出了各种举措，但在发　射前也尚无确切把握的局面。基于离散系统变分原理　研究了动力子结方法的各种计算格式　¨，对非经典阻　尼、本征值求解方法研究可适用于重根等各种本征值　的准确计算，以保证Ｌａｎｃｚｏｓ、Ａｍｏｌｄｉ法不丢根、不出现　假根　。巧妙重构无高阶余项误差方程并在步长　内满足方程的非线性动力学高精度数值积分方法　。　用各种动力子结构模态综合建模方法，最早从车辆整　车拖拉机一拖车系统，到建立了各类海洋平台在风、　浪、流、流冰和地震等动载荷作用下从线性到非线性以　及随机性响应分析。拓广到大型汽轮发电机组、水轮　发电机组整机系统、乃至直升机。从线性、随机到非线　性响应分析，不但建立了相应的理论并研制成相应的　软件广泛应用于各类工程。基于力学原理建立的计算　模型，数值计算为手段，以线性化、确定性模型为基础，　逐步发展推广到非线性、随机激励的响应分析，在随机　性响应谱分析总结中表明，只在最后一步才涉及随机　性的计算　。这表明在大量工程实际问题中，在线性　模态分析基础上，可以发展成应用于大量工程实际中　多自由度非线性动力特性分析、设计、修改的有效方　法。以上对作者及合作者长期以来对机械／结构大系　统进行的工作简要回顾，温故而知新，从而醒悟到以下　要点。　在非线性系统特性呈现为分岔等各类非线性现象　时，其模态也主要呈现为一阶或两阶线性模态，可以确　认线性模态虽然不能对非线性系统解耦，但它是联系　和沟通线性和非线性振动的桥梁，而且从线性振动贯　彻到非线性振动。因此任意多自由度非线性系统，在　非共振状态下，选用适当有贡献的线性模态做定量和　定性分析；在共振状态下，则可以用起主导作用的各阶　线性模态化为单、两自由度非线性系统，从而实施定性　分析。关于线性系统本征值问题或称模态分析，得到　对响应有贡献的低阶模态减缩方程，诸如实模态、复模　态和非对称的一般情况已趋成熟，各种单自由度非线　性系统的渐近解析解，上世纪早期就已有很多成果。　大型非线性系统定量和定性分析相结合，从而全面地　应用工程振动分析中成为可能，工程中大型非线性系　统的全面的定量和定性分析的结合实现，从而这一历　史性世界难题的逐步解决已跃于眼前。　ｌ　非线性动力学微分方程　多（，１）自由度非线性非自治系统，受到激励ｆ（ｆ）　后，按力学原理表达成动力学微分方程　＋觥＋妇＝Ｅ厂（ｆ）＋Ｅ　（　，　）　（１）　其左端线性部分为首次近似，　（ｆ）、　（ｆ）、　（ｆ）为位　移、速度和加速度矢量　、ｃ、ｋ为系统的质量、阻尼和刚　度矩阵　（　，　）作为伪力的非线性项，用ｓ表示该项　相对其它项为不同阶次的小量。　先讨论激励ｆ（ｆ）是简谐波，非线性项种类繁多，为　简单起见　（　，　）是分别与位移、速度有关的非线性　项，若只对应于某一坐标　处，或称局部非线性。激励　可以有多频，现讨论单频激励　（ｔ）＝Ｈ　ｃｏｓ　ｔ，以下取　常见的Ｄｕｆｉｆｎｇ受迫振子，位移立方非线性　（　）＝　ｐｘ　，和ｖａｎ　ｄｅｒ　Ｐｏｌ振子阻尼非线性　（　）：（１一　；）　为例。　２实模态分析　多自由度系统有效的建模是用动态子结构法得到　（１）。经典阻尼系统，其左端齐次线性化方程，由模态　分析得到正则化模态矩阵　，谱矩阵Ａ：ｄｉａｇ［　］，阻　尼矩阵Ｃ：ｄｉａｇ［２　］。坐标变换　：卸，可归结为　模态坐标留下对线性系统解耦但对非线性系统则是耦　合的的动力学方程　西＋￡ｃ　＋Ａｑ＝　［　（ｔ）＋Ｅ，　（ｑ，毒）］　（２）　对（２）的求解，一般情况下目前有效的方法只有数　值积分方法，取对响应有贡献的若干低阶模态进一步　减缩自由度，由时程响应波形分析，计算谱图、Ｐｏｉｎｃａｒｅ’　截面、相轨线和分岔图等获得非线性性态。　在可能当出现分岔时，系统主要呈现单或双模态　的非线性振动，意味着其它模态并不明显出现，它们很　小而可以被忽略，ｑｉ》ｇ　（ｒ≠ｉ），于是可归结可供定性分　析的单模态方程　ｑ“　＋２　＋　２　ｇ　兰　∑　ｋ　（　）＋　（ｑ　，ｑ‘ｉ）］　（３）　类似可写出双模态两自由度非线性方程。特别要　注意到经模态坐标变换后的方程，已发生本质性变化。　３受迫振动单模态理论　３．１线性系统共振　线性系统在　受到谐波力ＣＯＳ／￣ｔ作用时，解耦方　程为　ｑ　＋２　ｑ　＋　２　ｑ　＝Ｑ　（ｔ）＝　ｋ　Ｈｋｃｏｓ￣ｔ　（４）　其模态、物理坐标下受迫响应稳态解　‘ｐ　Ｈ　ｇ　—丁　￣／（．　１　ｏｓ（　一Ａ　）　＋（２　）　…）　＝　一Ｊ２　：∑　）：　窆　ｋＨ＿ｒ——享　—　。　（　一　）　ｉ＝１　、　设固有频率有适当隔离，　＜　：，…，＜　＜　，　维普资讯 http://www.cqvip.com

６　振动与冲击　２００８年第２７卷　当，Ａ　＝　６０ｉ兰１，则上式中ｑ　》ｑ　（　≠　），受迫响应稳态　解近似取该阶单模态振动　垆警ｒ　ｋ南ｃｏｓ（　，…，凡　（５）　多自由度线性系统共振理论很简单，呈现为各阶　固有频率对应的单一的主模态，但高阶共振响应相比　于一阶共振将迅速减小。这从理论上早已证明并为试　验验证，并成为测量主模态的一种方法。以下将推广　应用于多自由度非线性系统共振情况。　３．２非线性系统共振　非线性系统共振，即使是单自由度系统就很复杂，　就能产生主共振，亚谐、超谐共振，多种组合共振，但渐　近解析法有解析结果。　。　取Ｄｕｆｉｆｎｇ型受迫振动振子，由（３）得到ｎ（ｉ＝１，２，　…，ｎ）个非线性动力学模态耦合方程　ｑｉ＋２　ｉ　ｉｑ　＋　２　ｑ　＝　［　ＣＯＳ　一卢　（∑　）　】　（６）　１）主共振：当ｎ－￣－０）　，由共振单模态的理论知，非　线性系统共振，ｑ　》ｑ。（Ｐ≠ｉ），即只需要保留非线性项　中主项，对于局部　处有激励和非线性力，　．（　）＝　肛　＝卢（…ｋｑ　）　兰卢（　）　，代入（６）中，于是有非线　性解耦方程　；　＋２ｅ（　ｉ＋　２　ｑ　兰ｅ（Ｈｉｅｃｏｓ￣ｔ—　ｑ　），　Ｈｉ　＝　ｋ　＝，　卢（　）　（７）　其解可取已有结果，这也就是非线性振动的各阶　主坐标响应　ｑｉ（ｆ）＝ａｃｏｓ（￣ｔ一　）＋　口　卢ＣＯＳ（３０ｆ一　）＋０（６　），　ｎ＝　＋８０＂　（８）　其中　．　８Ｈｉ．．．　口　一‘　一　“　，　＝　・＋丢　）一ｎ　Ｈｉｃｏｓ￣ｂ　（９）　注意到首次近似解对应于该阶主模态。取稳态　（定常）解，即可求得幅频响应曲线，得到发生在ｎ＝　＋８０＂处分岔的跳跃现象。　２）亚谐共振当６０ｉ兰　，同样ｑ　》ｑ　（ｍ≠　），只需　要保留其中单一模态，其解　ｑ　＝口ｃ。ｓｆ　ｆ一　）＋　８Ｈｉ　（　一ｎ　）　ｃｏｓ￣ｔ＋０（６）　（１０ａ）　３）超谐共振当　兰３ｎ，同样ｑｉ》ｑ　（　≠ｉ），只保　留其中一个单模态，其解　ｑｆ＝ａｃｏｓ（３　一　ｆ）＋　（　一ｎ　）　ｃｏｓ￣ｔ＋Ｄ（　）　（１０ｂ）　以上称为亚谐、超谐共振，类似主共振解（８），取　稳态解，即可求得幅频响应曲线，从而同样可分析稳态　ｎ　运动分岔现象。解（１０ａ、ｂ）中前一项是分别由　兰Ｓ“－，　Ｊ　－－－３ｆ￣得来的主共振，Ｎａｙｆｅｎ等人解释为不衰减的自　由振动解似不妥。由于外激励频率不接近固有频率　，后一项已退居为受迫振动响应，显然其首项来自立　ｎ　方非线性，作为半或３ｎ激励频率和线性系统固有频率　Ｊ　接近时，分别自动调谐，并在共振区附近发生分岔现　象。多自由度系统则有３凡组这类共振，但实际最容易　发生的一般都对应于基频模态。在多频激励下产生更　多种复杂的组合共振。　由于立方非线性关系，非线性振动呈现了多种多　样的共振情况，而且在共振区附近出现了解不唯一的　分岔现象，自然存在判别稳定性问题，应用线性振动单　模态共振理论，高自由度非线性系统就可进行这类定　性分析。　３．３非线性系统自激振动Ｈｏｐｆ分岔的极限环　典型阻尼非线性自激振动是１９２６年ｖａｎ　ｄｅｒ　Ｐｏｌ发　现了有极限环的振子方程　一　（１一　）　＋　２。　＝０　（１１）　从不稳定原点产生稳定极限环，根据Ｈｏｐｆ分岔定　理，极限环的产生是由首次近似某一对共轭复根表征　的、模态失稳引起的。新产生的极限环在分岔点附近，　以这阶模态频率的小扰动进行准周期运动，但仍然是　单个主模态起主导作用，意味着多自由度系统的其它　模态很小而可以被忽略，于是仍可归结为模态坐标下　单自由度系统。当微幅线性振动处于共振状态，幅值　不断增加，成为大幅非线性振动而呈现其复杂非线性　现象。其重要性是在大量的工程问题中倾刻间出现了　这类灾难性重大事故，最著名的如Ｔａｃｏｍａ桥的坠毁，　机翼折断，国内外大系型火箭升空中由于未能预测　Ｐｏｇｏ振动而失败，核电站中由于流体流动导致管束的　强烈振动而损坏，输电线大幅舞动而成排倒塌等等。　虽然从机理上对自激振动研究得已经很清楚，但面对　工程实际问题，尚存在采用单自由度的分析离题太远，　同时对作用于系统的负阻尼涉及流体力学尚没给出满　意的结果。　由模态坐标变换，ｑ　》ｑ　（　≠ｉ），非线性阻尼力近　似为　＝，＝１∑　ｉ　　ｇＪ，　（　，　）＝（１一　）　＝　维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期　郑兆昌：关于线性和非线性系统内在的本质联系　７　１一∑∑．ｉ　ｑ　∑　窨［１一（　）。ｑ　（１２）　４结束语　本文基于近代有限元和子结构模态综合法的动力　于是耦合非线性系统方程，可归结为类似（７）单模态　方程　ｑ　＋（Ｄ２一　ｆｑｆ＝一　ｓ　（１一　）　兰　ｉｓ［１一　（　ｉ）　ｑ　］　３　（１３）　上式（　＝１）已有精确到ｓ　的渐近解　学建模方法，经模态分析建立了左端以线性模态解耦　的首次近似，而右端为激励和模态耦合的非线性广义　力的非线性动力学方程。以表征线性系统特性的主模　态为桥梁，沟通了线性振动和非线性振动之间的内在　的本质联系，统一了多自由度非线性振动问题定量、定　性分析的求解方法，揭示了高自由度非线性振动和线　ｑ　＝ａｃｏｓ￣Ｙｔ一　ｓｉｎ３￣ｔ一　［　５　２ｃ。ｓ５　＋（口２＋８）ｃｏｓ３￣］＋Ｄ（ｓ。）（１４）　其中　＝警（　一手），　＝　＋等（　一口２＋　口　）　（１５）　经积分后并取初值（ａ。，‰）可得　一２［　（　一１）ｅｘｐ－ｅｔｒ，　＝　一专（１一ａ２＋ａ）￡＋　。　（１６）　从以上结果分析，可得以下结论：　１）首次近似为无阻尼线性振动，振幅为２、频率即　固有频率的主模态谐波振动。　２）一阶以上近似显示非线性阻尼的调谐作用，于　是有一、三、五倍频率调谐的主模态谐波振动。这里计　及一阶以上近似的准周期运动，可视为非线性阻尼力　作用下主模态共振现象。　最为重要的是一旦系统中存在ｖａｎ　ｄｅｒ　Ｐｏｌ非线性　阻尼，即使受到微小扰动，由于原点是不稳定的奇点，　故运动将以接近一、三、五倍频率调谐的谐波振动趋向　稳定极限环，但这一过程中从外界不断吸收能量，运动　振幅的不断增大，将可能造成很大危险性。　以上分析可知，其调谐频率将在某阶固有频率附　近，因之这类自激振动在多自由度系统中，也是以各阶　固有频率（或分数、整数倍）调谐对应的单模态出现。　最近研究Ｐｏｇｏ振动表明，结构一管路流体耦合非线性　振动发生失稳就出现在基频的一阶模态，这将改变目　前主要工程经验出发提出了各种举措，但发射前尚处　于无确切把握的局面。对于大型汽轮发电机组，由于　二次油膜非线性力产生油膜振动，多次突发毁灭性事　故，虽几历经机械部科技攻关、自然科学基金等重大项　目，但久攻未克，目前也只能从工程经验上处理。多模　态非线性响应数值分析验证了工程中存在周期２、４分　岔现象，即略小于转速及半频油膜振动，单模态理论将　给出进一步的定性分析。　性振动也是以少数减缩线性主模态呈现其运动规律。　数值解可以实现一般线性、非线性响应定量分析，进一　步也可获得可能发生的主谐、超谐、亚谐和组合共振，　极限环和分岔、混沌等各种非线性振动现象。当线性　系统单模态共振态理论适用时，可把系统自由度降为　单、两自由度，因之可采用渐进解析法进行分岔混沌等　定性分析。以最低阶单主模态理论作定性分析，将改　变以往把复杂庞大的工程系统简化为单自由度的思维　方式，这将对突发性严重毁灭性事件预测防止，提供理　论和工程实际相结合之路。本文提出了求解高自由度　非线性系统这一历史性世界难题的定量、定性分析方　法相结合的新思路。显然定性分析这仅仅是一个新开　端，可能存在多频率之间耦合的分数、倍数频率的多模　态耦合有待进一步研究。单模态理论适用范围、条件　以及严格的数学论证和广泛的工程应用，更需要广大　致力于非线性动力学学者共同努力，在新世纪中理论　联系实际走上有特色的创新之路。　参考文献　［１］Ｎａｙｆｅｈ　Ａ　Ｈ，Ｍｏｏｋ　Ｄ　Ｔ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ　Ｊｏｈｎ　Ｗｉｌｅｙ＆　Ｓｏｎｓ　Ｌｔｄ．，ＮｅｗＹｏｒｋ，Ｃｈｉｃｈｅｓｔｅｒ，１９７９．　［２］Ａｒｎｏｌｄ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ　Ｓｐｒｉｎｇｅｒ　Ｖｅｒｌａｇ　１９７７英译俄１９７４第一版，中译俄　１９９９第四版．　［３］郑兆昌．复杂结构振动研究的模态综合技术［Ｊ］．振动与　冲击１９８２；１．（１）　［４］Ｚｈｅｎｇ　Ｚ　Ｃ，Ｚｈｏｕ　Ｈ　Ｐ，Ｌｉ　Ｄ　Ｂ，ｅｔ．ａ１．Ｇｙｒｏｓｃｏｐｉｃ　Ｍｏｄｅ　Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｄｙｎａｍｉｃ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ａ　Ｍｕｌｔｉ－・Ｓｈａｆｔ　Ｒｏｔｏｒ－・　Ｂｅａｒｉｎｇ　Ｓｙｓｔｅｍ．１９８５　Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｉｎｔ．ＧＡＳ　Ｔｕｒｂｉｎｅ　Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ，　ＡＳＭＥ　Ｐａｐｅｒ　Ｎｏ．８５一ＩＧＴ　７３．　［５］郑兆昌，谢耕．核反应堆系统动力分析的主副子结构方　法［Ｊ］．原子能科学技术，１９８９；２３（５）：８１—８６．　［６］Ｚｈｅｎｇ　Ｚ　Ｃ，Ｘｉｅ　Ｇ，Ｄｕ　Ｑ　Ｈ．，Ｔｈｅ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆｔｈｅ　Ｃｏｍｐｌｅｘ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　Ｓｙｓｔｅｍ　ｉｎ　Ｎｕｃｌｅａｒ　Ｒｅａｃｔｏｒｓ　Ｕｓｉｎｇ　Ｄｙｎａｍ—　ｉｃ　Ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　Ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　９ｔｈ　Ｉｎｔ．Ｃｏｎｆ．　ＳＭＩＲＴ，Ａｕｇ．１９８７，Ｂ３３３－－３３８．　［７］郑兆昌．非线性系统动力分析的模态综合技术［Ｊ］．应用　数学和力学，１９８３，４（４），５６３＿５７１．　［８］郑兆昌，谭明一．非线性系统动态响应的数值计算方法　［Ｊ］．应用数学和力学１９８５；６（１），９３—１０１．　［９］Ｒｅｎ　Ｗ　Ｘ，Ｔａｎ　Ｘ　Ｇ，Ｚｈｅｎｇ　Ｚ　Ｃ．，Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｐｌａｎｅ　维普资讯 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８　振动与冲击　２００８年第２７卷　ｌｆａｍｅｓ　ｕｓｉｎｇ　ｉｒｇｉｄ　ｂｏｄｙ—ｓｐｒｉｎｇ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．　［１７］Ｚｅｎｇ　Ｚ　Ｃ，Ｗａｎｇ　Ｆ　Ｒ．Ｄｙｎａｍｉｃ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｂｌａｄｅ　Ｇｒｏｕｐ　Ｕ—　Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ　１９９９，７１（１）１０５一ｌ１９．　ｓｉｎｇ　Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　Ｍｏｄｅ　Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ．１Ｏｔｈ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｍｅ—　［１０］　郑兆昌，程保荣．固定式海洋平台非线性动态响应分析　ｃｈａｎｉｃａｌ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｎｏｉｓｅ．ＡＳＭＥ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｂｌａｄｅｄ　［Ｊ］．海洋工程．１９８４．２：１８３—１９４．　Ｄｉｓｋ　Ａｓｓｅｍｂｌｉｅｓ　１９８５．９０—９７．　郑兆昌，程保荣．桩基式海洋平台的模态分析及非线性动　［１８］郑兆昌，王福荣．汽轮机焊接叶片组动力分析［Ｊ］．振动与　力响应分析．第１６届国际理论及应用力学会议中国学者　冲击，１９８７，６（４）：４．　论文集锦中国力学学会大连工学院出版社１９８６．　［１９］沈松，郑兆昌．大型转子一基础一地基系统的非线性动　［１２］　Ｚｈｅｎｇ　Ｚ　Ｃ，Ｒｅｎ　Ｇ　Ｘ，Ｃｈｅｎ　Ｙ　Ｍ．Ａｅｒｏｅｌａｓｔｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ａ　力分析［Ｊ］．应用力学学报，２００４，２１（３）：９９．　ｃｏｕｐｌｅｄ　ｒｏｔｏｒ／ｆｕｓｅｌａｇｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｎ　ｈｏｖｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｆｌｉｇｈｔ　［２０］任辉，任革学，荣克林，马道远，张建民等．液体火箭Ｐｏｇｏ　Ａｒｃｈｉｖｅ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　１９９９，（６９）６８—８２（Ｇｅｒ－　振动的非线性仿真研究［Ｊ］．机械强度，２００６：（３），　ｍａｎ）．　１—　．　［１３］　Ｚｈｅｎｇ　Ｚ　Ｃ，Ｇｕｏ　Ｄ，Ｚｈａｎｇ　Ｙ　Ｊ，ｅｔ　ａ１．Ｄｙｎａｍｉｃ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　［２　１］Ｚｈｅｎｇ　Ｚ　Ｃ，Ｘｉｅ　Ｇ，Ｗｉｌｌｉａｍｓ　Ｆ　Ｗ．Ｄｉｓｃｒｅｔｉｚｅｄ　ｓｕｂｒｅｇｉｏｎ　ｖａｒ－　ｌａｒｇｅ—ｓｃａｌｅ　ｆｌｅｘｉｂｌｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｆｏｒ　ｆｒｅｅ—ｆｒｅｅ　ｓｐａｃｅ　ｓｔｕｒｃｔｕｒｅｓ，　ｉａｔｉｏｎａｌ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｆｏｒ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｉｎｇ；Ｊ．ｏｆ　Ｅｎｇｒ．　Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｉｃａｌ　Ｔｒａｎｓａｃｆｏｎｓ　ｏｆ　Ｔｈｅ　Ｒｏｙａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　ｏｆ　Ｌｏｎｄｏｎ　Ｓｅ—　Ｍｅｃｈ．，ＡＳＣＥ，１９９９，１２５（５）：５ｏ４—５１２．　ｉｒｅｓ　Ａ—Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｐｈｙｓｉｃａｌ　Ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ　［２２］Ｚｈｅｎｇ　Ｚ　Ｃ，Ｒｅｎ　Ｇ　Ｘ．Ｔｈｅ　ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｆｏｒ　ｌａｒｇｅ　ｓｃａｌｅ　２００１，３５９（１７８８）：２２０９－－２２２９．　ｎｏｎ—ｃｌａｓｓｉｃａｌｌｙ　ｄａｍｐｅｄ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．ＡＣＴＡ　Ｍｅｃｈａｎｉ—　［１４］　Ｚｈｅｎｇ　Ｚ　Ｃ，Ｗｕ　Ｎ　Ｐ．Ｔｈｅ　Ｃｏｍｐｌｅｘ　Ｍｏｄａｌ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｆｏｒ　Ｌａｒｇｅ　ｃａ　Ｓｉｎｉｃａ　１９９６，１２（３）２７２—２８０．　Ｒｏｔｏｒ．Ｂｅａｒｉｎｇ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　Ｓｙｓｔｅｍ．ＡＳＭＥ　１　１　ｔｈ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　［２３］Ｒｅｎ　Ｇ　Ｘ，Ｚｈｅｎｇ　Ｚ　Ｃ，Ｗａｎｇ　Ｗ　Ｊ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｎｏｉｓｅ　Ｃｏｎｆ［Ｊ］．ＡＳＭＥ　Ｒｏｔａｔｉｎｇ　Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ　Ｄｙ—　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｉｔｈ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｂｌａｄｅｓ［Ｊ］．Ｊ．ｏｆ　Ｓｏｕｎｄ　ａｎｄ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｎａｍｉｃｓ　１９８７，２：３９１—３９８．　１９９９，２２５（４）：５９７－－－－６１０　Ａｕｇ．２６．　［１５］　Ｚｈｅｎｇ　Ｚ　Ｃ．Ｄｙｎａｍｉｃ　Ａｎａｌｙｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｌａｒｇｅ　Ｒｏｔｏｒ—Ｆｏｕｎｄａ—　［２４］Ｚｈｅｎｇ　Ｚ　Ｃ，Ｒｅｎ　Ｇ　Ｘ　Ａｒｎｏｌｄｉ　ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｌａｒｇｅ　ｔｉｏｎ—Ｓｏｉｌ　Ｓｙｓｔｅｍ，Ｐｒｏｃ．３ｒｄ　Ｉｎｔ．Ｃｏｎｆ．ｏｎ　Ｒｏｔｏｒｄｙｎａｍｉｃｓ　ｓｃａｌｅ　ｇｙｒｏｓｃｏｐｉｃ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ＡＣＴＡ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａ　Ｓｏｌｉｄａ　Ｓｅｐ．１９９０，Ｌｙｏｎ，Ｆｒａｎｃｅ．Ｃ．Ｊ．Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ应用力　Ｓｉｎｉｃａ　１９９６，９（２）：９５—１０３．　学学服．１９９２，９（１）．　［２５］郑兆昌，沈松，苏志宵．非线性动力学高精度数值积分　［１６］　Ｚｈｅｎｇ　Ｚ　Ｃ，Ｈｕ　Ｙ．Ｔｈｅ　Ｄｙｎａｍｉｃ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ａ　Ｍｕｌｔｉ・Ｓｈａｆｔ　Ｒｏ—　方法［Ｊ］．力学学报，２００３，（３５）３：２８４—２９５．　ｔｏｒ—Ｂｅａｒｉｎｇ—Ｃａｓｅ　Ｓｙｓｔｅｍ．Ｐｒｏｃ．４ｔｈ　Ｉｎｔ．Ｃｏｎｆ．ｏｎ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ　［２６］郑兆昌．随机振动矩阵直接谱分析方法．中国工程学会成　ｉｎ　Ｒｏｔａｔｉｎｇ　Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ　１９９８：６０７—　１４．　立二十周年庆祝大会，全国振动理论及应用学术会议　２００７论文集，随机振动［Ｉ］（３—２０页）．　全国机械振动与冲击标准化技术委　冒　Ｚ　更名　国家标准化管理委员会于２００７年ｌ０月２４日，以标委办计［２００７］１２０号文批　复，同意全国机械振动与冲击标准化技术委员会（代号：ＳＡＣ／ＴＣ５３）更名为“全国机　械振动、冲击与状态监测标准化技术委员会”（ＳＡＣ／ＴＣ５３）。仍对口ＩＳＯ／ＴＣ１０８　（Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，ｓｈｏｃｋ　ａｎｄ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ）．ＳＡＣ／ＴＣ５３更名后的标准化　工作领域为：负责机械振动与冲击对人体、机器、运载工具和固定结构物影响的测　量与评定，测试技术及仪器设备的使用与校准，对机器和结构物的状态监测和诊断　等专业领域的标准化工作。