2016-2017学年上学期高二数学期末复习试题

命题人：李缨梅 时间120分钟，满分150分

班级 学号 姓名 得分 一、选择题（每小题5分，共60分）

1．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示， x1，x2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，

2

s21，s2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有( ) 2A．x1＞x2，s21＜s2 2C．x1＝x2，s21＝s2

2

B．x1＝x2，s21＞s2 2D．x1＝x2，s21＜s2

2．从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）

A．

1111 B． C． D． 23463．下列函数中,在(0,)上为增函数的是（ ）

x3 A．ysinx B．yxe C．yxx D．yln(1x)x

24．向量=（﹣2，﹣3，1），=（2，0，4），=（﹣4，﹣6，2），下列结论正确的是( ) A．∥，⊥ B．∥，⊥ C．∥，⊥ D．以上都不对

5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数

n后,输出的

（ ）

S(10,20),那么n的值为

A．3

B．4

C．5

D．6

6．如图1是某高三学生进入高中－二年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14

次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围 内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是( ) A．7 B．8 C．9 D．10

1

7.设a,bR, 则 “(ab)a20”是“ab”的

（ ）

A．充分而不必要条件 C．充要条件

xxB．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

328.已知命题p:xR,23;命题q:xR,x1x,则下列命题中为真命题的是: （ ）

A．pq B．pq

2C．pq D．pq

9.O为坐标原点,F为抛物线C:y42x的焦点,P为C上一点,若|PF|42,则

POF的面积为

A．2

B．22

C．23

D．4

10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝2，E、F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的对角线的交点，则直线EF与平面DBB1D1所成的角正弦值为( )

A．

13 B．33 C. 63 D．12

11. 已知三个数

构成一个等比数列,则圆锥曲线

的离心率为（ ）

A．

B．

．

或

D．或

C

12.已知方程lnxax2320有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是 （A）0,e22 （B）0,e22 （C）0,e2e23 （D）0,3

2

（ ）

选择题答题处： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题（每小题5分，共20分）

13．某厂为了检查一条流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件

产品，逐一称出它们的重量（单位：克），经数据处理后作出了如图所示的样本频率分布直方图．那么，根据频率分布直方图，样本中重量超过505克的产品数量应为 件．

1)dx=_____________. 1x21115．已知圆x2y2mx0与抛物线yx2的准线相切，则

44m_____

14.计算：

3(2x16．已知正三棱柱ABC－DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，当MNxAByACzAD时，则xyz_____.

三、解答题（70分）

17.已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n（单位：百人）的关系有如下规定：当n[0,100)时，拥挤等级为“优”；当n[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n300时，拥挤等级为“严重拥挤”。该景区对

6

月

份

的

游

客

数

量

作

出

如

图

的

统

计

数

据

：

3

（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a,b的值，并估计该景区6月份游客人

数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

游客数量 （单位：百人） 天数 频率 [0,100) [100,200) [200,300) [300,400] a 10 13 4 215 1 130 b （Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的

游客拥挤等级均为“优”的概率．

18、已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB//DC，DAB90,PA底面

ABCD，且PAADDC1,AB2,M是PB的中点．

（1）求AC与PB所成的角余弦值； （2）求二面角AMCB的余弦值．

4

19．（本题满分12分）已知函数f(x)x3x.

（Ⅰ）若曲线yf(x)与直线ym有且只有一个公共点，求m的取值范围； （Ⅱ）过点P(2,6)作曲线yf(x)的切线，求此切线的方程

xy

20.(12分)已知双曲线C: 2 - 2 =1 (a＞0,b＞0)的离心率为3 ,虚轴长为22 .

ab(1)求双曲线C的方程;

22

(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B,且线段AB的中点在圆 x+y=5上,求m的值.

5

2

2

321．(本小题满分12分)

x2y2如图，已知椭圆C: 221(ab0)与抛物线E:y24x有一个公共的焦点F，

ab2且两曲线在第一象限的交点P的横坐标为．

3（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线l:ykx与抛物线E的交点为O，Q，与椭圆

C的交点为M，N（N在线段OQ上），且MONQ． 问满足条件的直线l有几条，说明理由．

22、已知aR，函数f(x)x22alnx. (1)当a1时，求f(x)的单调区间和最值；

(2)若a0，试证明：“方程f(x)2ax有唯一解”的充要条件是“a12

”．

6

1.D2.B3.B4C.5B.6.D7.A8.B 9.C10.B11.D12.A

221

3 16. 13. 12 14. 3 15. 16

CN→→→→

16.解析：本题主要考查空间向量基本定理和数量积．设＝m，由于AE＝AB＋BE，又CF＝

CF→→1→→→→AD,MN＝BC＋mAD，又AE·MN＝0，

2

111得×1×1×(－)＋4m＝0，解得m＝. 2216

17.【答案】(Ⅰ) a15,b【解析】

13，平均数为120；(Ⅱ) .

102考点：频率分布表，古典概型．

18、证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

1A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,)．

2（1）解：因AC(1,1,0),PB(0,2,1),

故|AC|2,|PB|5,ACPB2,所以cosAC,PBACPB10.

5|AC||PB|所以，AC与PB所成的角余弦值为10 …………………………………5分 57

（2）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在R,使NCMC,

11NC(1x,1y,z),MC(1,0,),x1,y1,z..

2214要使ANMC,只需ANMC0即xz0,解得.

25412可知当时,N点坐标为(,1,),能使ANMC0.555

1212此时,AN(,1,),BN(,1,),有BNMC05555由ANMC0,BNMC0得ANMC,BNMC.所以ANB为

所求二面角AMCB的平面角．

|AN|ANBN230304. ,|BN|,ANBN. cos(AN,BN)5553|AN||BN|2故所求的二面角的余弦值为.…………………………………10分

3另解：可以计算两个平面的法向量分别为：平面ＡＭＣ的法向量n1(1,1,2)，平面ＢＭＣ的法向量为n2(1,1,2)，cosn1,n2=所求二面角AMCB的余弦值为－

2， 32． 3219．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵f(x)3x33(x1)(x1)（1分）， 当x1或x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0（3分）， ∴f(x)的极大值为

f(1)2，极小值为f(1)2（4分）。∵曲线yf(x)与直线

。 ym只有一个公共点，根据图象知，m2或m2（6分）（Ⅱ）设切点坐标为(t,t3t)，则切线方程为∵切线过点P(2,6)，∴

3y(t33t)3(t21)(xt)（8分），

6(t33t)3(t21)(2t)，化简得t33t20，∴t0或

t3（10分），∴所求的切线方程为3xy0或24xy540（12分）。

c

20.(12分)解: (1)由a =3 ,∴c=3 a ,由b=2 ,∴c2-a2=2,∴a=1, ∴所求双曲线方程为

x2-

y2

2 =1 ;

8

y P M Q O x T y=x+m2

(2)由2y消 y得 x2-2mx-m2-2=0 ,△=4m2+4(m2+2)=8(m2+1)＞0,

x- =12

x1+x2=2m ,∴AB中点(m,2m),代入圆方程得m2+4m2=5,∴m=±1 .

21．本题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考查曲线方程的求法以及研究曲线的定

性定量的基本方法，考查运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分13分． （Ⅰ）由F(1,0)，故椭圆的焦点坐标为(1,0).

226由点P在抛物线y24x上，所以P(,). ············· 2分

3322622262)(1)2()4， 又点P又在椭圆C上，所以2a(1)2(3333所以a2，又c1，故b3， ·················· 4分

x2y2从而椭圆C的方程为1. ··················· 5分

43ykx,（Ⅱ）联立直线与椭圆方程得x2y2得3x24k2x212，

1,4333，xN2. ················ 7分 234k34k2ykx,联立直线与抛物线得2得k2x24x，

y4x,4解得xO0，xQ2 ························ 9分

k解得xM2由MONQ，故N为线段OQ的中点， 即xNxOxQ2，得4342， 234kk化简得3k44k230，

213（负值舍去），故满足题意的k值有2个. 3从而存在过原点O的两条直线l满足题意. ·············· 13分

解得k2

9

2ax2a2(x1) 22、解：（Ⅰ）f'(x)2xxx⑴若a1,x1，则f'(x)0，∵f(x)在[1,)上连续， ∴f(x)在[1,)上是单调递增函数。 ∴当a1,x1时，f(x)minf(1)1 ⑵若a1,x1，令f'(x)0，得xa

当x(1,a)时，f'(x)0，f(x)在[1,)上连续，f(x)在[1,a)上是单调递减函数．

当x(a,)时，f'(x)0，f(x)在[a,)上是单调递增函数． 则xa时，f(x)取得最小值．

aaalna．

∴当a1,x1时，f(x)mina2aln∴g(a)(a1),1,

aalna,(a1),2（Ⅱ）记g(x)f(x)2axx2alnx2ax，

2a22a(x2axa). xx12⑴充分性：若a，则g(x)xlnxx，

211g'(x)(2x2x1)(2x1)(x1).

xxg'(x)2x当x(0,1)时，g'(x)0,g(x)在（0，1）上是单调递减函数； 当x(1,)时，g'(x)0,g(x)在(1,)上是单调递增函数．

∴当x1时，g(x)ming(1)0，即g(x)0，当且仅当x1时取等号． ∴方程f(x)2ax有唯一解．

⑵必要性：若方程f(x)2ax有唯一解，即g(x)0有唯一解．

2令g'(x)0，得xaxa0.

10

aa24aaa24a0（舍去）. ∵a0,x0,∴x1，x222当x(0,x2)时，g'(x)0,g(x)在(0,x2)上是单调递减函数； 当x(x2,)时，g'(x)0,g(x)在(x2,)上是单调递增函数． ∴当xx2时，g'(x2)0,g(x)ming(x2) ∵g(x)0有唯一解，∴g(x2)0．

g(x2)0,x22alnx22ax20,则即2

g'(x)0,2x2ax2a0,∴2alnx2ax2a0，∵a0，∴2lnx2x210(*) 设函数(x)2lnxx1,

∵在x0时h(x)是增函数，∴h(x)0至多有一解．

2aa24a11，解得a. ∵h(1)0，∴方程（*）的解为x21，即

22由⑴、⑵知，“方程f(x)2ax有唯一解”的充要条件是“a

1

” 2

11