第五章-一元函数微积分的应用(精品文档)

5.1 函数图象的几何性质

一 基本概念

定义1 极值点与极值： （1）极大值点（极小值点）：函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若xU(x0)有

f(x)f(x0)（f(x)f(x0)），

则称x0为f(x)的极大值点（极小值点）；函数值f(x0)为f(x)的极大值（极小值）．

（2）极大值点和极小值点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值． 定义2 凸凹函数： 函数f(x)在I上有定义，若对任意的x1,x2I，有

f(x1)f(x2)x1x2f(x1)f(x2)x1x2f()) （1）

2222则称f(x)在区间I上是凹函数（凸函数）．

f(公式（1）可以改写为：

f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x1)f(x2) （2） 其中,(0,1)，且1．

定义3 拐点： 如果函数f(x)在点x0的左右邻域的凸凹性不同，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的拐点；

定义4 渐近线： 若曲线yf(x)上的点M，沿曲线无限远离原点时，它与定直线L的距离趋于零，则称直线L就是曲线yf(x)的渐近线。

注1 极值点和最值点的区别和联系：

（1）极值点未必是最值点，最值点也未必是极值点； （2）最值点若是在区间内部，最值点就是极值点；

（3）若函数在定义域区间内仅有唯一极值点，则此极值点就是最值点． 注2 拐点是曲线上的点(x0,f(x0))，并非是数轴上的点xx0．

二 基本方法

1 求极值点

有两类点可能成为极值点：导数等于0的点和导数不存在的点（仅仅可能是极值点）． 判断上述两类点是否为极值点的具体方法：

（1）几何方法：若x0的左右邻域的单调性不同，则x0是极值点，f(x0)是极值； 在x0的左邻域(x0,x0)上，f(x)0；在x0的右邻域(x0,x0)上，f(x)0，

x0为极大值点．

在x0的左邻域(x0,x0)上，f(x)0；在x0的右邻域(x0,x0)上，f(x)0，

x0为极小值点．

（2）代数方法：求x0的导数，若f(x0)f(x0)则

(n)(n) (a) 如果n是偶数，x0是极值点，若f(x0)0,x0是极小值点，若f(x0)0,x0是

(n)f(n1)(x0)0，而f(x0)0，

极大值点；

1

(b) 如果n是奇数，x0不是极值点． 2 求函数yf(x)的单调区间 （1）求函数f(x)的定义域；

（2）在定义域内求出一阶导函数f(x)等于零的点和一阶导函数不存在的点； （3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断导函数f(x)在每个区间的符号，从而得到单调区间．

3 求函数yf(x)在区间[a,b]或(a,b)上的最值：

具体方法：求函数f(x)在闭区间[a,b]上一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令x1,x2,,xn，则函数yf(x)在[a,b]的最大值与最小值分别为 Mmax{f(x1),f(x2),,f(xn),f(a),f(b)}；

mmin{f(x1),f(x2),,f(xn),f(a),f(b)}。

特别的，求函数yf(x)在开区间(a,b)上的最值：

具体方法：求函数f(x)在(a,b)上的一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令x1,x2,,xn，

（1）若max{f(x1),f(x2),...,f(xn)}max{f(a),f(b)}或max{limf(x),limf(x)}

xaxb则f(x)在(a,b)上存在最大值，最大值就是

max{f(x1),f(x2),...,f(xn)}

（2）若min{f(x1),f(x2),...,f(xn)}min{f(a),f(b)}或min{limf(x),limf(x)}

xaxb则f(x)在(a,b)上存在最小值，最小值就是

min{f(x1),f(x2),...,f(xn)}

否则，不存在最值．

4 求凹凸区间和拐点 具体方法：

（1）求函数f(x)的定义域；

（2）求二阶导数f(x)等于零的点和二阶导数不存在的点；

（3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断二阶导函数f(x)在每个区间的符号，从而得到凹凸区间和拐点．

5 求曲线的渐近线

（1）水平渐近线：limf(x)a，limf(x)a或limf(x)a，则ya是水平渐近

xxx线．

（2）铅直渐近线：limf(x)a，limf(x)a或limf(x)a，则xa是铅（垂）

xx0xx0xx0直渐近线．

（3）斜渐近线：若limxf(x)k，blim[f(x)kx]，则ykxb是斜渐近线．

xx6 函数在区间上的平均值

函数f(x)在闭区间[a,b]上的平均值：y1bf(x)dx aba 2

例1 已知f(x)xaxbx在x1处有极值2，求a，b，并求yf(x)所有极大值、极小值和拐点。

解 根据已知有f(1)1ab2，f(1)32ab0，解得a0，b3。从而函数解析式为f(x)x3x。

求导f(x)3x33(x1)，令f(x)0，解得稳定点为x1，f(x)6x，于是f(1)60，f(1)60。所以x1分别是极小值点和极大值点，极小值为

22332f(1)2，极大值为f(1)2。

由于f(x)6x，令f(x)0，则x0，由于f(x)60，所以(0,0)是拐点。 例2 求曲线ylnx的一条切线，使得曲线、切线与x1，xe所围成的图形面积最小。

解 设曲线ylnx上的点(a,lna)的切线方程是

21ylna(xa)。

a则由ylnx，ylnae21(xa)，x1和xe2所围成的图形的面积为 a1S(a)[lna(xa)lnx]dx

1a lna(e1)2112(xax)a2e21(xlnxx)e21

1e2(e1)(lna1)e21。

2a211e21)对a求导，得到S(a)(e1)(，令，解得S(a)0a(1e2)。而 02a2a2211e2e21S(a0)(e1)(23)40

aa(1e2)22所以S(a)在aa0处取极小值，即最小值。于是所求切线方程为ylna0即

1(xa0)，a01e22ylnx1。

21e2例3 函数f(x)对一切实数x满足微分方程xf(x)3x[f(x)]1e (1) 若函数f(x)在点xc(c0)有极值，证明它是极小值； (2) 若函数f(x)在点x0有极值，它是极大值还是极小值？

解 （1）因为f(x)在点xc(c0)有极值，所以f(c)0，将xc代入方程中，

得到

x 3

cf(c)3c[f(c)]1ec

1ec0，所以f(c)是f(x)的极小值． 因此f(c)c（2） 因为f(x)具有二阶导函数，f(x)在x0有极值，所以f(0)0，limf(x)0

x0f(0)limf(x)f(0)f(x)limlimf(x)

x0x0x0x0x1exlim3[f(x)]210． x0xf(0)是函数f(x)的极小值．

例4 函数f(x)2ax0(t2a2)dt(0a2)，求

（1）f(x)的极大值M用a表示出来；

（2） 将（1）中的M看作a函数，求M的最值．

22解（1）因为f(x)xa，f(x)2x．令f(x)0，得到稳定点xa，而

f(a)2a0，于是xa是极大值点，极大值

2Mf(a)2a(t2a2)dt2aa3．

03dMdM（2）由于22a2，令0，解得在区间[0,2]稳定点是a1，所以

dada444MmaxmaxM(0),M(1),M(2)max0,,；

333444MminminM(0),M(1),M(2)min0,,．

333例5 设对任意实数x有f(x)x[f(x)1]，且f(0)0，求f(x)的极值． 解 首先求函数f(x)的解析式．依题意有

f(x)x[f(x)1]，f(x)x[f(x)1]

ax2x解方程组，得到f(x)2．所以

x1x2x1f(x)2dxln(1x2)xarctanxC，

x12由于f(0)0，所以C0，于是

1f(x)ln(1x2)xarctanx．

2x22x1令f(x)0，解得x10,x21，而f(x)，所以f(0)10，22(1x)11f(1)0，所以f(0)0是极小值，f(1)ln21为极大值．

224练习 5.1

1．在数列1,2,33,...,nn,...中，求出最大一个数．

4

（最大数：33，提示：问题归结到函数f(x)x(x0)的最大值） 2．求函数f(x)1xx20(2t)etdt的最大值和最小值

2 （最大值：f(2)1e，最小值 f(0)0 ）

3．求函数f(x)10x2t2dt，x0的最大值和最小值

11，无最大值 ）

243．求曲线ylnx在[2,6]内一条切线，使得该切线与直线x2，x6，和曲线ylnx

（最小值：f()所围成的图形面积的最小值．

1x12ln2 43225． 求方程2y2y2xyx1所确定的函数y(x)的极值。 （当x1时，，y(1)1是极小值）

3 答案：y6. 求通过点（1，1）的直线yf(x)中，使得 答案：y2x1

7.设函数f(x)xacosx(a1)在区间(0,2)内有极小值，且极小值是0，求函数在的区间(0,2)内有极大值．答案：fmax．

8. 设yaxbxc过原点。当0x1时，y0。该曲线与x轴以及x1所围成的图

220[x2f(x)]2dx为最小的直线方程．

1，试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周的立体的体积最小。 353答案：a,b,c0。

42x231e(x1)f(x)8.求函数f1(x)和2的渐近线．答案：yx5和y1,x0． 2(x1)21ex339 设函数yy(x)是由方程xy2xy0确定，试求曲线yy(x)的渐近线。

2答案：yx

31x13,x1,210.设函数f(x)ln(1x),1x1,，求曲线yf(x)的渐近线．

1x3x,x1形的面积为

答案：水平渐近线：y1；垂直渐近线：x1，x1；斜渐近线：yxln31． 5.2 微元法在计算面积、体积、弧长应用 1．计算面积公式

（1）直角坐标系下，由f(x)，g(x)，xa和xb围成区域

D{(x,y)g(x)yf(x),axb}

的面积为

5

Sba[f(x)g(x)]dx

特别的，由f(x)，x轴，xa和xb围成图形的面积是 Sbaf(x)dx．

（2）极坐标系下，由r1()，r2()，，围成区域

D{(r,)r1()rr2(),12}

的面积为

S122[r()rd 21()]212r()d． 2特别的，当r()，，围成图形的面积是 S（3）边界曲线为参数方程的图形面积

x(t),y(t)，t1tt2，S(t)(t)dt

t1t2其中(t)在[t1,t2]上不变号，若积分值为负值，交换积分上下限．

2．计算弧长公式

（1）平面曲线用参数方程表示：xx(t)，yy(t)(atb)，x(t),y(t)具有连续

导数，则曲线弧长

Sbax2(t)y2(t)dt；

（2）平面曲线用一般方程表示：yf(x)(axb)，f(x)具有连续导数，则曲线弧长

Sba1f2(x)dx；

（3）平面曲线用极坐标方程表示：rr()()，r()具有连续导数，则曲线弧长

Sr2()r2()d；

3．计算曲率、曲率半径公式（数三不要求） 曲率是对曲线yf(x)的弯曲成度的描述：曲率

y

s0s(1y2)3/2若曲线用参数方程表示：xx(t)，yy(t)，则曲率为

(t)(t)(t)(t)K 223/2[(t)(t)]1曲率半径：．

KKlim4．计算体积公式

（1）设立体介于平面xa和xb之间，对x(a,b)，过x且垂直于x轴的平面截立体，其截面面积为S(x)，则的立体体积为

VS(x)dx；

ab 6

（2）旋转体的体积：连续曲线yf(x)(f(x)0)、x轴、xa和xb围成曲边梯形，该平面图形绕x轴旋转的旋转体的体积：

Vxf2(x)dx；

ab

平面图形绕y轴旋转的旋转体的体积：

Vy2xf(x)dx。

ab5 旋转面的面积

在x轴上方有一平面曲线AB绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积。

（1）平面曲线用参数方程表示：xx(t)，yy(t)(atb)，则旋转曲面面积

S2y(t)x2(t)y2(t)dt

ab（2）平面曲线用一般方程表示：yf(x)(axb)，则旋转曲面面积

S2f(x)1f2(x)dx。

ab（3）平面曲线用极坐标方程表示：rr()()，则旋转曲面面积

S2r()sinr2()r2()d。

x2y2例1 求221围成图形的面积．

ab解 曲线关于x轴和y轴都对称，所以整个图形的面积是第一象限的4倍，于是

x21S4ydx4b12dx4ab2cos2d4abab。

000a22例2求摆线xa(tsint),ya(1cost)的一拱0t2与轴所围成的面积

aa解 根据公式

S(t)(t)dt0a(1cost)a(1cost)dt

t1t22a220(12costcos2t)dt3a2．

222例3 求半径r圆绕距离中心为R(Rr)的直线旋转而成的圆环体的体积。

解 适当建立坐标系，圆的方程为x(yR)r，则圆环体可以看作是曲线

yRr2x2和yRr2x2分别绕x轴旋转体体积的差。所以

V(Rr2x2)2dx(Rr2x2)2dxrrrr

1r2x2dx8Rr222r2R。 0433例4 设一容器是曲线yx(0x80)绕y轴旋转而成。现以8cm/s速度向容器注水，求水面上升到64cm时，水面上升的速度和液面面积的扩大速度。

8Rr解 设时刻t(s)时液面高度为y(cm)，则y0xdyydy8t。对t求导：

02y23dy2dyy38，于是当y64cm时，dtdt1(cm/s)。 水面上升的速度2

y641(cm/s)。即液面上升到64cm时，27

ds由于液面面积Sxy，所以

dt223y6421dyy33dty641(cm/s)。 12习题5.2

1、 求下列曲线所围成的图形的面积：

（1）ye,ye,x1； （2）x232xxy1和两坐标轴；

223244（3）yx(1x)与x轴； （4）yx6x和yx； （5）2acos； （6）(xy)a(xy)．

11253；(3) ，提示：曲线与x轴有三个交点；（4），两个6211322曲线有三个交点； (5) a（6）a． 提示：将曲线转化为极坐标方程：

4

1r2a2(1sin22)．

2答案：（1）ee2；（2）

12、求由下列曲线绕轴旋转的旋转体的体积：

（1）y4x及y0所围成的图形绕直线x3旋转一周； （2）(x1)y4绕y轴旋转一周；

（3）xya，xa，x2a，y0分别绕x轴和绕y轴旋转一周；3、已知曲线:y1x21，试求： （1）与x轴所围成的图形D的面积；

（2）图形D绕x轴旋转一周的旋转体的体积； （3）图形D绕y轴旋转一周的旋转体的体积。

222a2，2a。

281616(425)；(3)2.

315154．求曲线r3cos和r1cos所围成的公共图形的面积．

54 答案：

432

5. 求心脏线ra(1cos)所围成图形的面积和弧长．a，8a

2

336. 求曲线xacost，yasint的全长．6a

2（1）(21)；(2)

7. 设容器由y2x绕y轴旋转而成。令注入V方水后，水面的高度是h，再注入V方水后，问水面高度提高了多少？（答案：(321)h）

5.3 微元法在物理上的应用

解决实际问题的基本方法：微元法，即细分、累加、求极限，根据极限形式，确定所求量的定积分。但在实际问题中，我们只需确定被积表达式即可，没有必要严格按照细分、累加、求极限，再确定定积分，于是在微元的处理上，往往采用：建立适当的坐标系或坐标轴，在整体量任意选定一个位置x，给出改变量dx，在从x到x+dx一段上，把所求量（如压力、作功、引力、质量）看作常量：于是得到微元的量，即确定了定积分的被积表达式，从而得到所求量的定积分。

8

（1）液体压力 设一平面薄板放在均匀的静止的密度为的液体中，则液体对薄板的侧压力

Pxf(x)dx

ab微元法：在薄板中任意选取一个位置x（也是水深），薄板的宽度为dx，薄板的长度为

，即f(x)，于是微元面积为f(x)dx，微元所受压力xf(x)dx（密度深度受力面积）

是被积表达式。

（2）物体引力 质量分别为m1,m2相距为r的两质点的引力大小为Fkm1m2，其中r2k为引力常数，引力的方向沿两点的连线方向．

（3）变力作功 设一物体，在外力F的作用下，沿x轴从a点移动到b点，则外力所作的功

bWF(x)dx．

a微元法：在[a,b]上任意选取一个位置x，移动距离为dx，在力F(x)作用下，物体从

x到x+dx所作的功为F(x)dx（力位移），即是被积表达式。

（4）物体质量 设一物体，其密度函数(x)是连续函数，则物体质量为

M(x)S(x)dx．

ab微元法：适当建立坐标系，在物体上任意选取一个位置x，作一个截面S(x)，在这个截面上密度相等，给出切片的厚度为dx，于是微元体积为S(x)dx，微元质量(x)S(x)dx（密度切面面积厚度），即是被积表达式。 例1 设半径为R的球体体密度ur，求球体的质量 （1） r是球内的任意一点到球心的距离； （2） r是球内的任意一点到直径的距离；

（3） r是球内的任意一点到过球心的平面的距离． yy

xx xdx x xxdx xx dxdx 图5-6 图5-7 图5-8

解（1）由于r是球内的任意一点到球心的距离，所以为计算质量的方便，将密度相等部分分割到一起，分割方法是：以原点为圆心，以x和xdx为半径作两个球面组成球壳，所以体积微元（球壳）近似为：

于是质量微元 2dV4x2dx（体积表面积4x厚度dx）

2 dMdVx24x2dxx24x4dx

所以质量为

9

4M4x4dxR5．

05R（2）由于r是球内的任意一点到直径的距离，建立坐标系，同样为计算质量的方便，

将密度相等部分分割到一起，分割方法是：以直径为轴，以x和xdx为半径作两个柱面组成具有厚度为dx的柱面，于是体积微元近似为

dV2x2R2x2dx（体积柱面表面积2x2R2x2厚度dx）

于是质量微元

dMdVx22x2R2x2dxx24x3R2x2dx

所以质量为

M4x05R3Rxdx4R22520sin3tcos2tdt

834R2sintdt2sin5tdtR3

0015（3）由于r是球内的任意一点到过球心的平面的距离，建立坐标系，同样为计算质量

的方便，将密度相等部分分割到一起，分割方法是：距平面的距离为x和xdx，作两平行于定平面的平面，平面薄板是圆面，厚度为dx，于是体积微元近似为

dV于是质量微元

Rx22dx（体积圆面面积22Rx22厚度dx）

2dMdVx所以质量为

R0Rx22dxx22x2(R2x2)dx

4R5 15M2x2(R2x2)dx22例2 由抛物线yx及y4x绕y轴旋转一周构成一旋转抛物面的容器，高为H，

现于其中盛水，水高为H/2，问要将水全部抽出，外力需做多少功？

解 设水的比重为，如图阴影部分 的水的重量为 y(H)dyydy

抽出这部分水需要作的功

y434 3dWy(Hy)dy

4所以抽出全部分水所做的功

H/231Wy(Hy)dyH3． 0416HH/2 yyy 图5-9

例4 半径为R比重为（大于1）的求沉入深为H（大于2R）水池底，现将其从水 中取出，，需做多少功？

WW1W2，其中W1是水下作功，W2是出水作功

43R(1)(H2R)，dW[4R3h2(Rh)]dx，h是球缺的高，

2333h2Rx

例5 边长为a和b矩形薄板（ab），放于与液面成角的液体内，长边平行于液面 位于深h 处，设液体的比重为，求薄板

W1

10

x 所受的压力P．

解 当x的增量为x时，薄板对应的 宽度为：为

dx，面积为adx，静压力 sinsindP.x.a.dxxadx sinsinh xxx b hbsin a 1所以有

PhbsinhdPhbsinhxab 图5-10 dxab(hsin) xsin2例6 闸门的上部分为矩形，下部分为二次抛物线与线段围成，当水面与闸门的上端相

平时，欲使闸门矩形部分所承受的水压力与闸门下部分承受的水压力之比为5：4，求闸门的矩形的高度应是多少米？

解 设抛物线方程为yx，闸门矩形高度为h， 矩形部分承受的水压力为

2P121h11g(h1y)dygh2；，

y1h闸门抛物线部分承受的水压力为

12P22g(h1y)ydyg(h)，

0h315P5根据1，得到h2． 12P24yx例7 设有质量均匀的细直杆AB，其长为l， x质量为M

（1）在AB的延长线上与端点B的距离为a处 图5-11 有一质量为m的质点N1，求细直杆对质点N1的引力．

（2）AB的中垂线上到杆的距离为a处有一质量为m的质点N2，求细直杆对质点N2的

引力．

解（1）在[x,xx]的一段质量为dMMdx，所以此段对质点N1的引力为

lMMdxmmlkMmldFklFkdx，所以 220(lax)(lax)a(la)

a x xx a xx x l l图5-12 图5-13

（2）在[x,xx]的一段质量为dMMx，所以此段对质点N2的引力为 l MxmkMma1ldFk2cosx，

(ax2)l(a2x2)3/2

11

所以

F2l/20kMma12kMm． dx22l(a2x)3/2a(l4a)例8 为清除井底的污染，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口．井深30米，

抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起污泥重2000N，提升速度3m/s，在提升过程中，污泥以20N/s的速度从抓斗中漏出，现将抓斗提升到井口，问克服重力需要做多少功？

解 如果将抓斗提升到井口，克服重力做的功分三部分： WW1W2W3，

其中W1是克服抓斗自重作功，它在整个运动过程中，所用 的力是常量，即抓斗的重量，所以

x W14003012000

W2是克服缆绳自重作功，显然它在整个运动过程中，所用 的力是变力，当抓斗处在x位置时，缆绳重量50(30x)； 从x运动到xx克服缆绳重量所做的功50(30x)x，于 是

xx 30M x W250(30x)dx22500．

030W3是提升污泥所作的功，它在整个运动过程中，所用的力是 x变力，当抓斗处在x位置时，污泥的重量是200020，于 图5-14

3xx是从x运动到xx克服污泥重量所做的功(200020)；

33301xW3(200020)dx57000．

033练习 5-3

1 设体积为1的立方体，密度为(1)，沉入深为H(H1)的水池底部，现将其从

水中取出，需要作多少功？

2 半径为1的半球形水池，充满水，要把池内水全部取尽需作多少功？

3 灌溉涵洞的断面为抛物线拱形，在水面高出涵洞顶点为1M时，求涵洞闸门（底边宽为2M，高1M）所受的水压力（水的比重为1）．答案：

232。 154 一物体以速度v3t3t米/每秒作直线运动，计算该物体在t0时到t10秒内的平均速度。答案：90，提示：V

1102(3t2t)dt90。 010 12