高一数学不等式解题技巧精析及针对练习题

高一数学不等式解题技巧精析及针对练习题(含答案)(总

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基本不等式 知识点：

1. (1)若a,bR，则a2b22ab (2)若a,bR，则aba2b22

（当且仅当ab时取“=”）

2. (1)若a,bR*，则ab2ab (2)若a,bR*，则ab2ab （当且仅当ab时取“=”）

(3)若a,bR*2，则abab2 (当且仅当ab时取“=”） 3.若x0，则x1x2 (当且仅当x1时取“=”）

若x0，则x1x2 (当且仅当x1时取“=”）

若x0，则x1x2即x1x2或x1x-2 (当且仅当ab时取

“=”）

4.若ab0，则abba2 (当且仅当ab时取“=”）若ab0，则

abba2即abba2或abba-2 (当且仅当ab时取“=”） 5.若a,bR，则(ab22ab22)2（当且仅当ab时取“=”） 注意：

(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，

当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋

1

x 2 （2）y＝x＋1

2x 解：(1)y＝3x 2＋1

2x 2

≥23x 2·

1

2x 2

＝6 ∴值域为[6 ，+

∞）

(2)当x＞0时，y＝x＋1

x ≥2

x·1

x

＝2； 当x＜0时， y＝x＋1x = －（－ x－1

x ）≤－2

x·1

x

=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧

技巧一：凑项

例 已知x54，求函数y4x214x5的最大值。 2

解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)对4x2要进行拆、凑项，

1不是常数，所以4x5当且仅当2x32x,即x

技巧三： 分离 技巧四：换元

330,时等号成立。 425x,54x0411y4x254x3231

4x554x，

当且仅当54x时，ymax1。

技巧二：凑系数

例： 当解析：由

1，即x1时，上式等号成立，故当x154xx27x10(x1)的值域。 例：求yx1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当

,即

时,y2（x1)时，求yx(82x)的最大值。 知，

，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积

459（当且仅当x＝1时取x1“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当

，即x＝2时取等号 当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

变式：设0x3，求函数y4x(32x)的最大值。 23解：∵0x∴32x0∴

22(t1)27(t1）+10t25t44y=t5

ttt4当,即t=时,y2t59（当t=2即x＝1时取“＝”

t号）。

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数

f(x)xa的单调性。 x92x32xy4x(32x)22x(32x)2

223

例：求函数yx25x24的值域。

解：令x24t(t2)，则yx25x241x24x24t1t(t2)

因t0,t1t1，但t1t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考

虑单调性。

因为yt1t在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递

增函数，故y52。

所以，所求函数的值域为52,。

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

例：已知x0,y0，且19xy1，求xy的最小值。

错解．．

：x0,y0，且19xy1，xy1x9yxy29xy2xy12 故 xymin12 。 错因：解法中两次连用均值不等式，在xy2xy等号成立条件是

xy，在1929xyxy等号成立条件是1x9

y

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：x0,y0,1x9y1，

xyxy19y9xxyxy1061016

当且仅当

yx9xy时，上式等号成立，又19xy1，可得x4,y12时，xymin16 。 技巧七

2例：已知x，y为正实数，且x 2

＋

y2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.

4

2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

a＋b 2

2

。

同时还应化简1＋y 2 中y2前面的系数为 1

2

， x1＋y 2 ＝x

1＋y 2

2·12 ＝

2 x·2

＋

y 22

下面将x，

12

＋

y 22

分别看成两个因式：

x 2＋(

1y 2 ＋ )2x 2＋y 2 ＋1

x·

1222

＋

y 22

≤2

＝22

3

2 ＝4

即x1＋y 2

＝2 ·x 1

＋y 2

22 ≤ 3

4

2

技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

1

ab 的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知

条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30－2b30－2b－2 b 2法一：a＝b＋1 ， ab＝b＋1 ·b＝＋30bb＋1 由a＞0得，0＜b＜15

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t 2＋34t－3116

t ＝－2（t＋t ）＋34∵

t＋16

t ≥2

t·16

t ＝8

∴ ab≤18 ∴ y≥ 1

18 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab ∴ 30－ab≥22 ab

令u＝ab 则u2＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32

∴

ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥

1

18

点评：①本题考查不等式

ab2ab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出发求得

ab的范围，关键是寻找到ab与ab之间的关系，由此想到不等式

5

ab，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而ab（a,bR）2解得ab的范围.

技巧九、取平方

例: 求函数y2x152x(1x5)的最大值。 解析：注意到2x1与52x的和为定值。

又y0，所以0y22 当且仅当2x1=52x，即x2211112bc2ac2ab。当且仅当时取abc11183abcabc等号。

应用三：均值不等式与恒成立问题

19例：已知x0,y0且1，求使不等式xym恒成立的实数mxyy2(2x152x)242(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8的取值范围。

3时取等号。 故ymax22。 2解：令xyk,x0,y0,191，xy应用二：利用均值不等式证明不等式

111例：已知a、b、cR，且abc1。求证：1118

abcxy9x9y10y9x1.1 kxkykkxky1

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111abc2bc，可由此变形入手。

aaaa1032 。k16 ，m,16 kk 利用重要不等式放缩

n(n1)(n1)2例 设Sn1223n(n1).求证Sn.

22解：a、b、cR，abc1。11abc2bc。同理1aaaa解析 此数列的通项为akk(k1),k1,2,,n.

n1kk11，nkSn(k)， kk(k1)k222k1k12即n(n1)Snn(n1)n(n1).

222212ac12ab，1。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，1bbcc得

6

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式

ab，若放成k(k1)k1则得ab2A、2,1C、2,11,2 B、2,11,2

1,2 D、2,11,2

(n1)(n3)(n1)2Sn(k1)22k1n，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

2 a1ana12annn11a1ana1annn 其中，n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

应用四：均值定理在比较大小中的应用

例：若

ab1,Plgalgb,Q1ab(lgalgb),Rlg()，则P,Q,R的大小222、若关于x的不等式|x + 2| + |x－1| < a的解集为, 则a的取值范围是

( ).

A、 (3,+∞) B、[3,+∞] C、(－∞,3) D、(－∞,3)

113、不等式的解集为( ). 2x1x1A、(1，+∞) B、[1，+∞)

C、[0，1]∪(1，+∞) D、(—1，0)∪(1，+∞)

4、若关于x的不等式2x28x4a0在1x4内有解，则实数a的取值范围是（ ）. A、a4 B、a4 C、a12 D、a12 5、已知函数fxlg2xb（b为常数），若x1,时，fx0恒成立，则（ ）.

A、b1 B、b<1 C、b1 D、b=1 6、a、b、c∈R,下列命题:

①若a>b,则ac>bc;②若ab≠0,则若a>b>0,则

2

2

关系是 .

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

Q1（lgalgb)lgalgbp 2ab1Rlg()lgablgabQ ∴R>Q>P。

22ab*

+≥2;③若a>|b|,n∈N,则an>bn;④baaca<;⑤若logab<0,则a、b中至少有一个大于1.其中正确命bcb题的个数为( ). A、2 B、3 C、4 D、1

练习题

一、选择题

1、函数ylog1x21的定义域是（ ）.

27、函数y2(9x9x)12(3x3x)4的最小值为（ ）. A．—18 B．－16 C．－12 D．0 8、定义在R上的函数满足f(x)f(x2)，当x[3,5]时，f(x)2x4，则( ).

A．f(sin)f(cos) B．f(sin1)f(cos1)

667

22)f(sin) D．f(cos2)f(sin2) 33sinx29、函数y的值域是( ). 2sinxC．f(cos15、记min{a,b}为a、b两数的最小值,当正数x、y变化时,t=min{x,

变化,则t的最大值为___________.

y }也在

x2y255A．(,2][2,) B．(,1][1,) C．(,][,)

16、一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B市。已知

两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于22D．R

10、已知f(x)log3x2(x[1,9]),，则函数y[f(x)]2f(x2)的最大值是( ).

A．13 B．20 C．18 D．16

11、已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lgx.设

af(6355),bf(2),cf(2),则( ). （A）abc （B）bac （C）cba

（D）cab

12、若关于的方程x2―(a2+b2―6b)x+ a2+b2

+2a―4b+1=0的两个实数根x1，x2满足x1≤0≤x2≤1，则a2+b2

+4a的最大值和最小值分别为( ).A．177

2和5+45 B. ―2和5+45 C. ―2和12 D. ―1

2和15―45 二、填空题

xay1013、已知实数x,y满足约束条件2xy0aR，目标函数

x1zx2y只有当x1y0时取得最大值，则a的取值范围

是 ． 14、若x2y3≥0，则x12y22的最小值是 ．

(v)220km （货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要 小时？

三、解答题 17、解关于x的不等式ax23x10

18、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预

计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)kn1（k＞0，k为常数，nZ且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．

（1）求k的值，并求出f(n)的表达式；

（2）问从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元

8

19、已知不等式x23xt0的解集为{x|1xm,xR} （I）求t，m的值；

（2）若函数f(x)=－x2＋ax＋4在区间,1上递增，求关于x的不

等式loga(－mx2＋3x＋2—t)<0的解集。

20、已知函数y＝x＋

ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．

＝x＋2b（1）如果函数yx（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的

值；

（2）研究函数y＝x2＋cx2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

（3）对函数y＝x＋

ax和y＝x2＋ax2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性

（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)＝(x21x)n＋

(1xx)n（n是正整数）在区间[122，2]上的最大值和最小值

（可利用你的研究结论）．

21、已知数列ann满足Sn2an(n∈N*),Sn是an的前n项的和，并且a21．

（1）求数列an的前n项的和；

9

an1 （2）证明：32≤112a2

n1

22、已知二次函数f(x)ax2x1(a0)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1、x2.

（1）证明：(1x1)(1x2)1；（2）证明：x11，x21； （3）若x1、x2满足不等式lgx11，试求ax的取值范围。 2

不等式测试题（三）答案与解析：

1、答案：选A。要使函数有意义，则log1x210，即

20x2,11,2。

2、答案：选C。提示：令fxx2x1，则fx可看作是数轴上的点到x1,x2的距离和，所以fx3,，要使不等式|x + 2| + |x－1| < a的解集为，则有a,3。 3、答案：选D。提示：不等式同解为

xx1x10，故解集为(—1，

0]∪(1，+∞)。

4、答案：选A。提示：分离参数得a2x28x4，则转化为a小于Tx2x28x4在1x4的最小值，配方求得最小值为4。 5、答案：选A。fxlg2xb02xb1b2x1，

x1,,b1。

6、答案: A。解析: ①错.当c=0时,有ac2=bc2.

②错.当ab<0时,

ab+ba≤－2. ③对.当b>0时,a>b>0,an>bn成立;

当b=0时,a>0,an>bn成立;

当b<0时,若n为奇数,an>0,bn<0,an>bn成立;

若n为偶数,a>|b|>0,an>|b|n=bn,an>bn仍成立.故n∈N*

,a>|b|时总有

an>bn.

④错.如a=3,b=2,c=－1时,

acbc>ab. ⑤对.当01. 正确命题有2个.

7、答案：选B。提示：令3x3xT,则9x9xT22，所以

10

y2T212T2T318，又T2得y16。

8、答案：选D。提示：由题知fx周期为2，又当x[3,5]时，

2f(x)2x4，即fx在3,4上为增，4,5上为减。所以在1,0上为增，0,1上为减，

2xy0画出区域后，让直线xay10

x1绕1,0旋转得到不等式表示的平面区域，

平移直线x3y0观察图象可知，必须满足直线xay10的斜率1>0才符合题意，故实数a的范围是a>0。 a414、答案： 联想线性规划问题的求解方法，先考虑

5dcos2sin2所以f(cos2)f(sin2)。 sinx29、答案：选C。提示：时，sinx2不成立，故不能用均

2sinx值不等式。故利用其单调性求解。 10、答案：选A。

y[f(x)]2f(x2)log2x6log3x6log3x33，注意到为符合3函数，定义域为x1,3,log3x0,1，故最大值为13。

2x1y222的最小值，画出可行域（图略），可知d的最小

2值对应点（－1，－2）到直线x2y30的距离，易求得这个值为

25254，所以，正确答案为 55511、答案：选D解：已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，

644311f(x)lgx.设af()f()f()，bf()f()f()，

255522215、答案:

512cf()f()<0，∴cab，选D.

xy122yy22=x2≤x·解析: 若x≤2,则t=x,t≤=.故t≤, 2222222212、答案：B。提示：令f(x)= x―(a+b―6b)x+ a+b+2a―4b+1，则2xy22xyxy22

由题意有f(0)= a+b+2a―6b+1≤0且f(1)=2a+2b+2≥0，即2当且仅当x=y=时取“＝”； 22

(a+1)+(b―2)≤4且a+b+1≥0，在直角坐标平面aOb上作出其可行域2如图所示，而a2+b2+4a=(a+2)2+b2―4的几何意义为|PA|2―4（其中yyyxy12=(2≤若2≤x,则t=,t)≤. P(a，b)为可行域内任意的一点，A(―2，0)). 由图可知，当P点在直2xy2x2y2x2y2x2y2线l：a+b+1=0上且AP⊥l时取得最小值；当P点为AC(C为圆22222故t≤，当且仅当x=y=时取“＝”.综上可知,当x=y=时,t取最大(a+1)+(b―2)≤4的圆心)的延长线与圆C的交点时达到最大值. 又A22212点的直线l的距离为，|AC|=5，所以a2+b2+4a的最大值和最小值分值为. y 2216、答案：8h。解：这批货物从A市全部运到B市的时间为 72

别为―和(5+2)―4=5+45.故选B．

v22x 40016()O 2040016v240016v8(h)。 13、答案：a>0。直线xay10过定点1,0， tx3y0vv400v4002xy11 0

17、解：当a0时，解为334a2ax334a2a；当a0时，解为x33；

当0a3334a34时，解为x2a或x34a2a；

当a3

4

时，解为R.

18、解：（1）由g(n)kn1，当n＝0时，由题意，可得k＝8，

所以f(n)(10010n)(108n1)100n． （2）由f(n)(10010n)(108n1)100n100080 (n10n1)100080(n19n1)10008029520． 当且仅当n19n1，即n＝8时取等号，

所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.

19、解：⑴不等式x23xt＜0的解集为{x|1xm,xR}∴1m3mt得m2t2 ⑵f(x)=（xa2a2a2）44在(,1]上递增，∴21,a2

又log(mx23x2t)log(2x23x)aa＜0 ，

由a2，可知0＜2x23x＜1

由2x23x0， 得0＜x＜32

由2x23x10 得x＜12或x＞1

故原不等式的解集为x|0＜x＜132或1＜x＜

2 (1) 函数y=x+2b20、解x(x>0)的最小值是22b,则22b=6, ∴b=log29.

(2)设0y1, 函数y=x2cx2在[4c,+∞)上是增函数；

当0又y=x2cx2是偶函数,于是,该函数在(－∞,－4c]上是减函数, 在[－

4c,0)上是增函数.

(3)可以把函数推广为y=xnaxn(常数a>0),其中n是正整数.

当n是奇数时,函数y=xnanxn在(0,2a]上是减函数,在[2na,+∞) 上是

增函数,

在(－∞,－2na]上是增函数, 在[－2na,0)上是减函数.

当n是偶数时,函数y=xnan在(0,2na]上是减函数,在[2nxa,+∞) 上是

增函数,

在(－∞,－2na]上是减函数, 在[－2na,0)上是增函数.

F(x)= (x21)n+(1nxx2x)

=

12

C(x0n2n11111rn2n)Cn(x2n32n3)Cn(x2n3r2n3r)Cn(xnn)n11n1nxxx

因此F(x) 在 [

12,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 所以,当x=12或x=2时, F(x)取得最大值(992)n+(4)n；

当x=1时F(x)取得最小值2n+1.

21、解：(1)由题意Snn2an1n得Sn12an1 两式相减得2an1n1an1nan即n1an1nan 所以n1an1nan2

再相加2nan1nannan2即2an1anan2 所以数列an是等差数列．

又a112a1a10 又a21 ann1

所以数列annnn的前n项的和为Sn2a1n2． an1(2)11n12an112nrnC0C11122rnn2nCn2nC1Cn1n2nn2n

rCrn12n1nn1nr112rr!nr2rr1,2,n

x1111112n24222n11122

2n而112nC011nCn2n32  32≤11an12a2. n122、解：（1）由题意知，x1、x2是关于x的一元二次方程

ax2x10的两个实数根，故有x1x2＝1a，x1x2＝1a，x1＋x2＝

－x1x2，即(1x1)(1x2)1。……3分

（2）关于x的一元二次方程

ax2x10的两个实数根是x1、x2，则有

114a0，又a0，所以0a4。由

x1x21a41， ……5分 x1x2a4(x11)(x21)201)(x，x110，即x11，x21(x。 ……121)10x2107分

（3）由lgx1x1，得，0x110， ……8分

2x2又由（1）知，x111x1，即 2xx2x1110111x02，x21x2，，11x2， ……10分

13

a1xx1x22(1)21＝－(11)214，当112时，a取12x2x2x2x22x2最大值14，又a0，所以a的取值范围是(0,14]

10、已知函数f(x)ax2bx1（a，b为为实数），xR． （1）若函数f(x)的最小值是f(1)0，求f(x)的解析式；

（2）在（1）的条件下，f(x)xk在区间3,1上恒成立，试求

k的取值范围；

（3）若a0，f(x)为偶函数，实数m，n满足mn0，

mn0，定义函数F(x)f(x),当x0f(x),当x0，试判断F(m)F(n)值的正负，并说明理由．

解:（1）由已知ab10， 且b2a1，

解得a1，b2， ∴ 函数f(x)的解析式是f(x)x22x1 ……………2分

（2）在（1）的条件下，f(x)xk，即x2x1k0

从而kx2x1在区间3,1上恒成立， …………………………4分

此时函数yx2x1在区间3,1上是减函数，且其最小值为1，

∴k的取值范围为

,1. …………………………8分 （3）∵ f(x)是偶函数，∴ b0，∴ f(x)ax21，

由mn0知m、n异号，不妨设m0，则n0，

又由mn0得mn0

F(m)F(n)f(m)f(n)am21(an21)a(m2n2) ………………10分

由mn0得m2n2，又a0，得F(m)F(n)0， ∴ F(m)F(n)的值为正．

14