高等数学教案

象则是变量之间的关系，即函数。其研究的主要内容却是微积分，而研究微积分的基本方法是极限，函数的连续性则是函数可微与可积的基本条件。在中学对于函数及其性质已作了比较全面而详细的讨论，下面先对函数进行概括的复习，而后着重讨论极限与连续性问题。

第一章 函数与极限

【授课对象】理工类一年级，03090401～5 【授课时数】15学时，习题5学时

【授课方法】课堂讲授与提问相结合，适当时候采用多媒体技术 【基本要求】1.理解函数的概念.

2.了解函数的单调性、周期性、奇偶性. 3.了解反函数和复合函数的概念. 4.熟悉基本初等函数的性质及其图形. 5.能列出简单实际问题中的函数关系.

6.了解极限的N,定义,并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解.

7.掌握极限的四则运算法则.

8.了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限.

9.了解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较. 10.理解函数在一点连续的概念,会判断间断点的类型.

11.了解初等函数的连续性,知道在闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理).

【本章重点】复合函数的概念，极限的概念，极限的计算方法，复合函数的极限，

幂指数函数的极限，判断极限存在的准则及两个重要极限的应用，无穷大与无穷小的概念以及二者之间的关系，等价无穷小的运用，连续

《高等数学》教案 第一章 函数 极限与连续

1

性与间断点的概念与判断，闭区间上连续函数的性质。

【本章难点】极限的概念，利用极限的定义证明函数与数列的极限，幂指数函数极

限的计算，判断极限存在的两个准则及两个重要极限，复合函数的极限，等价无穷小的代换，间断点的判断与分类，根的存在性定理的应用。

【授课内容及学时分配】

§1. 函 数

一、基本概念：

1. 集合、常量与变量。（中学已学P1,P4） 2. 函数的概念。

Df1： 设有两个变量x和y，如果对于变量x在数集D中的每一个值，按照定一对应法则f，变量y总有确定的值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。其中，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为函数的定义域。

对于确定的x0D,相应的因变量y的对应值称为y=f(x)在x0处的函数值，记作f(x0)。全体函数值组成的数集W，称为函数的值域。此时，函数y=f(x)可看作是数集D到数集W上的一个映射。

若无特别说明，凡提及的数以及数集都限于实数范围内考虑，本书中所涉及的函数都是仅含一个自变量的一元函数（上册内容的研究对象）。

关于函数的定义特作如下几点说明：

10 定义域：如果函数y=f(x)的定义域是介于两全实数之间的全体实数，则称变

量x是连续型自变量，其定义域可以用所谓的区间来表示。

若设：a,bR，且ab，则对于满足如下不等式axb, a≤x≤b, a≤xb, ax≤b的实数集合分别用开区间(a,b),闭区间 [a,b],半开半闭区间[a,b),(a,b]来表示，这些区间都称为有限区间，而对于满足不等式ax+∞,-∞x≤b, -∞x+∞的实数集合分别用所谓的无穷区间

(a, +∞),(-∞,b) 及 (-∞，+∞)来表示。

2

《高等数学》教案 第一章 函数 极限与连续

特别地，把一个以某点为中心的对称开区间称为邻域。

设a, δR，且δ0，满足不等式|x-a|δ,即a-δxa+δ的实数集合｛x|x-a|δ＝或(a-δ,a+δ)称为点a的δ邻域，记为U(a,δ)(或N(a,δ))。其中，a称为邻域中心，δ称为邻域半径。在分析函数的性态时，常常需要深入到一点附近来研究，因此，δ一般是一个很小的正数。

对应于点a的邻域，还有一个点a的空（去）心邻域，它是由不等式0|x-a|δ

ˆ,δ)(N(aˆ,δ)),即U(aˆ,δ)=｛x|0|x-a|δ＝=(a-δ,a)(a,a+δ),其中来确定，记作U(a00(a-δ,a),(a,a+δ)分别称为点a的左邻域和右邻域

需要指出的是，并非所有函数的定义域都能用某一区间来表示，如单位圆内接

n2正n边形的面积Sn= sin,其中n=3,4,5,…依定义，记Sn=f(n)。Sn是n的函数，

2n其定义域为｛3，4，5，…｝

一般地，数列｛Xn｝确定了Xn是下标n的函数，Xn=f(n)。因其定义域为正整数集，故而数列又称为整数函数。显然，数列是一类特殊的函数。因此，对于一般函数适合的结论同样适用于数列。

1数列的图形是一些离散的点。例如数列Xn= ，其图形可以用数轴上的点

n表示（如左下图），也可用平面直角坐标系中的点来表示（如右下图），它是双曲函数y=1/x 的右支，当x取正整数时所对应的点。

20对应法则：y是x的函数，通常用y=f(x)来表示，它是用自变量x的解析式子来

表示因变量y的，函数的这种表达式称为显函数，但这并不是函数关系的唯一表达形式。从结构上看，它是“y已解出的二元方程”。

考虑二元方程x+y=1,当x(1,1)时，y=±1x2,因此，在区间(1,1)内，方程

《高等数学》教案 第一章 函数 极限与连续

3

x+y=1就确定了y是x的双值函数；若限定y0(或y0),则在[1-,1]上可确定y是x的单值函数。今后若无特别说明，我们只考虑单值函数。

一般说来，对于二元方程F(x,y)=0,若存在函数y=f(x),满足F[x,f(x)]≡0,则称y=f(x)是由二元方程所确定的隐函数。据此，方程x2+y2=1（y≥0）在区间[-1,1]上确定了y是x的隐函数。

按照函数的定义，允许多个自变量对应于同一函数值一，如y=sinx，当xk (k∈Z)时，y=0，特别地，常函数y=f(x)=C(常数)中的任何实数x都对需要说明的是，对于分段函数来说，函数的分段所表示函数仍是一个函数，而不是两个或几个函数，只是在定义域中的不同段上，其对应法则不同而已。

1x0如：y=f(x)= 0x0 D=(-,+)

1x021x如：y=f(x)=2x1|x|1 ，

1|x|2D=D1D2=[-1,1] (-2,-1)(1,2)=(-2,2)

30函数值

bb2a2b2a2b2x21

eg1.设y=f(x)=2，则：f(0)=-1，f(1)=0，f()=2，(f())=4，

aba2ax1ab42x2

f[f(x)]= 4

1x

eg2.已知f(sin

xx)=1+cosx,求f(cos). 22x)=1-cosx. 2解：先求f(x)=2(1-x2)，再求f(cos

4

《高等数学》教案 第一章 函数 极限与连续

由上述可知：定义域和对应法则是构成函系的两大因素，因为只要定义域和对应法则给定了，相应的值域也就确定了。因此，仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才能说这两个函数是相等的。例如，

x29 x+3与就表示两个不同的函数，因为二者的定义域不同。仅当x3时，等

x311x29式=x+3成立。再如，2lnx与lnx2，亦如此。而在s=gt2与 y=gx2k,尽管

22x3所用变量不同，仅当t0,x0时，两者均可表示自由落体运动中，物体下落距离与时间的关系。

二、函数的性质——函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。P1013

《高等数学》教案 第一章 函数 极限与连续 5