2015-2016学年辽宁省实验中学分校高三（上）10月段考数学试
卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合A={﹣1，1}，B={x∈R|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=( ) A．{﹣1} B．{1} C．{﹣1，1} D．∅ 2．函数
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．函数f（x）=log2（3x﹣1）的定义域为( ) A．B．[0，+∞） C．D．（0，+∞） （1，+∞） 【1，+∞）
4．已知α为第四象限的角，则tan
( )
的零点有( )
A．一定是正数 B．一定是负数
C．正数、负数都有可能 D．有可能是零
5．三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是( ) A．0.65＜log0.65＜50.6 B．0.65＜50.6＜log0.65 C．log0.65＜50.6＜0.65 D．log0.65＜0.65＜50.6
6．设f（x）=
，则f（ln3）=( )
A． B．ln3﹣1 C．e D．3e
7．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为( ) A．B．C．（﹣1，2） （1，﹣3） （1，0） D．（1，5）
8．已知α终边上的一点P坐标是（sin2，﹣cos2），则α的一个弧度数为( ) A．π+2 B．
+2
C．
﹣2 D．2﹣
9．设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是( )
A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＜b C．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b
10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且，f
（x）=log2（﹣3x+1），则f=( ) A．﹣2 B．2 C．4 D． log27
11．若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6
12．若存在x使不等式
＞
成立，则实数m的取值范围为( )
A． B． C．（﹣∞，0） D．（0，+∞）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分． 13．
14．若函数
的定义域为R，则m的取值范围是__________．
（3x+sinx）dx=__________．
15．=asin+bcos+4，b，f=5， α，β为非零实数）已知f（x）（πx+α）（πx+β）（a，，则f=__________．
16．f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法： ①
不可能是k型函数；
②若函数是1型函数，则n﹣m的最大值为；
③若函数是3型函数，则m=﹣4，n=0；
④设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为． 其中正确的说法为__________．（填入所有正确说法的序号）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（Ⅰ）计算：（a
•b
）
÷
÷
；
（Ⅱ）已知lga+lgb=2lg（a﹣2b），求的值．
18．设p：函数f（x）=|x﹣a|在区间（4，+∞）上单调递增；q：loga2＜1，如果“¬p”是真命题，“q”也是真命题，求实数a的取值范围．
19．（Ⅰ）已知sinθ，cosθ是方程4x2﹣4mx+2m﹣1=0的两个根，
＜θ＜2π，求角θ．
（Ⅱ）已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R，若α=60°，R=10cm，求扇形的弧与弦所围成的弓形的面积．
20．设函数f（x）=x2ex﹣1+ax3+bx2，已知x=﹣2和x=1为f（x）的极值点． （1）求a和b的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x3﹣x2，试比较f（x）与g（x）的大小．
21．已知0＜a＜1，在函数y=logax（x≥1）的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是t，t+2，t+4
（Ⅰ）若△ABC面积为S，求S=f（t）；
（Ⅱ）判断S=f（x）的单调性，求S=f（t）最大值．
22．已知函数g（x）=
+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣
﹣lnx（m∈R）．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围； （Ⅲ）设h（x）=求m的取值范围．
，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，
2015-2016学年辽宁省实验中学分校高三（上）10月段考
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合A={﹣1，1}，B={x∈R|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=( ) A．{﹣1} B．{1} C．{﹣1，1} D．∅ 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题．
【分析】先求出集合B，再根据两个集合的交集的意义求解即可． 【解答】解：集合B={﹣1，2}， ∴A∩B={﹣1}； 故选A
【点评】本题属于以一元二次方程为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．
2．函数
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】函数的零点． 【专题】计算题．
的零点有( )
【分析】先求函数的定义域，然后令f（x）=0，解出x的值，判断即可． 【解答】解：函数的定义域为：（2，3）∪（3，+∞） 令∴函数
=0，∵ln（x﹣2）≠0，∴x=4
的零点有1个
故选B．
【点评】本题考查函数的零点，考查方程的解，解题的关键是确定函数的定义域，否则会出错．
3．函数f（x）=log2（3x﹣1）的定义域为( ) A．B．[0，+∞） C．D．（0，+∞） （1，+∞） 【1，+∞） 【考点】对数函数的定义域． 【专题】计算题．
【分析】由于函数f（x）=log2（3x﹣1）具体给出，利用要求函数的定义域只需使得解析式都有意义即可，建立方程解出定义域．
【解答】解：有函数f（x）=log2（3x﹣1）的解析式要求其定义域只需要： 3x﹣1＞0解得：x＞0． 故选A
【点评】此题考查了有函数解析式求其定义域，还考查了指数不等式的求解，此题属于容易得分的题．
4．已知α为第四象限的角，则tan
( )
A．一定是正数 B．一定是负数
C．正数、负数都有可能 D．有可能是零 【考点】三角函数值的符号．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】由2kπ﹣由此可得tan
＜α＜2kπ，k∈Z，求得kπ﹣
＜
＜kπ，故
为第二或第四象限角，
的符号．
＜α＜2kπ，k∈Z，∴kπ﹣
＜
＜kπ，
【解答】解：∵已知α为第四象限的角，即2kπ﹣故 则tan
为第二或第四象限角， 一定小于零，
故选：B．
【点评】本题主要考查象限角的表示方法，正切函数在各个象限中的符号，属于基础题．
5．三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是( ) A．0.65＜log0.65＜50.6 B．0.65＜50.6＜log0.65 C．log0.65＜50.6＜0.65 D．log0.65＜0.65＜50.6 【考点】对数值大小的比较． 【专题】计算题．
【分析】利用指数函数的单调性可得50.6 ＞1，由幂函数的性质得0.65∈（0，1），再由对数函数的单调性可得log0.65＜0，可得结论． 【解答】解：∵50.6 ＞50=1，0.65∈（0，1），log0.65＜log0.61=0， ∴50.6 ＞0.65＞log0.65， 故选 D．
【点评】本题考查指数函数、对数函数的单调性，选取中间值0和1作为参照．
6．设f（x）=，则f（ln3）=( )
A． B．ln3﹣1
C．e D．3e
【考点】函数的值．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据题意，ln3∈（1，+∞），代入f（x）=f（x﹣1），求得f（ln3）=f（ln3﹣1），1＞ln3﹣1，由此f（ln3）的值求出．
【解答】解：当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），则f（ln3）=f（ln3﹣1）
当x≤1时，f（x）=gx，所以，f（ln3）=f（ln3﹣1）=eln3﹣1=
故选A．
【点评】此题是个中档题．本题考查分段函数求值，对于分段函数求值问题关键是找准不同范围的自变量对应着不同的函数解析式．代入相应的解析式求值，
7．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为( ) A．B．C．（﹣1，2） （1，﹣3） （1，0） D．（1，5） 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题．
【分析】设出P的坐标为（a，b），根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，由曲线在点P
的切线与已知直线平行，得到斜率相等，先根据已知直线的方程求出已知直线的斜率即为曲线上过点P切线方程的斜率，即为导函数在x=a时的函数值，把x=a代入导函数表示出函数值，让其等于切线方程的斜率列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入f（x）中即可得到b的值，根据求出的a与b的值写出点P的坐标即可． 【解答】解：设点P的坐标为（a，b）， 由f（x）=x4﹣x，得到f′（x）=4x3﹣1，
因为曲线上过P的切线与直线3x﹣y=0平行，
所以过点P的切线的斜率k等于直线3x﹣y=0的斜率，即k=3， 则f′（a）=4a3﹣1=3，解得a=1， 把a=1代入得：f（1）=0， 则点P的坐标为（1，0）． 故选C
【点评】此题要求学生掌握两直线平行时斜率相等，会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．
8．已知α终边上的一点P坐标是（sin2，﹣cos2），则α的一个弧度数为( ) A．π+2 B．
+2
C．
﹣2 D．2﹣
【考点】弧度制；任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】利用任意角的三角函数，先求出α的正切值，再求α的值． 【解答】解：∵α终边上的一点P坐标是（sin2，﹣cos2）， ∴tanα=
=﹣cot2=tan（2﹣
．
），
∴α的一个弧度数为2﹣
故选：D．
【点评】本题考查终边相同的角，任意角的三角函数的定义，考查计算能力，分析问题解决问题的能力，是基础题．
9．设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是( )
A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＜b C．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b
【考点】指数函数综合题． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】对于2a+2a=2b+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．
【解答】解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b， ∴若2a+2a=2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；
对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D． 故选A．
【点评】本题考查指数函数综合题，对于2a+2a=2b+3b与2a﹣2a=2b﹣3b，根据选项中的条件逆向分析而排除不适合的选项是关键，也是难点，属于难题
10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且
，f
（x）=log2（﹣3x+1），则f=( ) A．﹣2 B．2 C．4 D．log27
【考点】函数的周期性；对数的运算性质．
【分析】由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，所以f=f（3×670+1）
=f（1）=﹣f（﹣1），而﹣1∈（﹣），且
，f（x）=log2（﹣3x+1），
代入求出即可．
【解答】解：由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3， 所以f=f（3×670+1）=f（1）=﹣f（﹣1）， 而﹣1∈（﹣
），且
，f（x）=log2（﹣3x+1），
所以f（﹣1）=log2[﹣3×（﹣1）+1]=2，所以f=﹣f（﹣1）=﹣2． 故选A
【点评】此题考查了函数的周期性，奇偶性及已知解析式求函数值．
11．若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断． 【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．
【分析】求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案． 【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根， 由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1）， 如下示意图象： 如图有三个交点， 故选A．
【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．
12．若存在x使不等式
＞
成立，则实数m的取值范围为( )
A． B． C．（﹣∞，0） D．（0，+∞）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．
【专题】计算题；导数的概念及应用． 【分析】不等式
＞
，等价于m＜
，故存在x使不等式
＞
成立，
等价于m＜（
）max，构造函数，确定单调性，即可得出结论． ＞
，等价于m＜
，
【解答】解：不等式
故存在x使不等式＞成立，等价于m＜（
）max，
令y=∴y=∴（
，则y′=1﹣
在[0，+∞）上是单调减函数， ）max=0，
≤1﹣1=0，
∴m＜0． 故选C．
【点评】本题考查存在性问题，同时考查了转化的思想，属于中档题．求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分． 13．
（3x+sinx）dx=π2+1．
【考点】定积分的简单应用． 【专题】计算题．
【分析】运用微积分基本定理和定积分的运算律计算即可． 【解答】解：
（3x+sinx）dx=
3xdx+
sinxdx
=﹣cosx
=π2﹣（﹣1）=π2+1
故答案为：π2+1
【点评】本题主要考查了定积分，运用微积分基本定理计算定积分．解答定积分的计算题，熟练掌握定积分的相关性质：①∫ab1dx=b﹣a②∫abkf（x）dx=k∫abf（x）dx③∫abf（x）±g（x）dx=∫abf（x）dx±∫abg（x）dx
14．若函数
的定义域为R，则m的取值范围是[0，4]．
【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】计算题． 【分析】函数两种情况讨论 【解答】解：函数
的定义域为R，
的定义域为R，可得mx2+mx+1≥0恒成立分m=0，m≠0
则mx2+mx+1≥0恒成立 当m=0时 1≥0恒成立
当m≠0时，则m＞0，m2﹣4m≤0⇒0＜m≤4 综上可得，0≤m≤4 故答案为：[0，4]
【点评】本题以函数的定义域的考查为载体，考查了不等式的恒成立问题，体现了转化思想及分类讨论的思想的应用．
15．已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，（a，b，α，β为非零实数），f=5，则f=3． 【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用诱导公式求得﹣asinα﹣bcosβ=1，再利用诱导公式化简 f=asinα+bcosβ+4，运算求得结果．
【解答】解：∵f=asin+bcos+4=asin（π+α）+bcos（π+β）+4=﹣asinα﹣bcosβ+4=5， ∴﹣asinα﹣bcosβ=1，
故 f=asin+bcos+4=asinα+bcosβ+4=﹣1+4=3， 故答案为：3．
【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于中档题．
16．f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：
①不可能是k型函数；
②若函数是1型函数，则n﹣m的最大值为；
③若函数是3型函数，则m=﹣4，n=0；
④设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为． 其中正确的说法为②③．（填入所有正确说法的序号） 【考点】函数的值域．
【专题】新定义；函数的性质及应用．
【分析】根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．
【解答】解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣=1，f（4）=3﹣=2， ∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是型函数，∴①错误；
x﹣1=a2x2，x+1=0， ∴a2x2﹣（a≠0）是1型函数，即（a2+a）（a2+a）
y=对于②，
∴方程的两根之差x1﹣x2=∴②正确；
=≤，即n﹣m的最大值为，
n=0，∴m=﹣4，∴③对于③，y=﹣x2+x是3型函数，即﹣x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，正确；
对于④，f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则x3+2x2+x=kx有二不等负实数根， 即x2+2x+（1﹣k）=0有二不等负实数根，∴误；
综上，正确的命题是②③． 故答案为：②③．
【点评】本题考查了在新定义下函数的定义域、值域问题以及解方程的问题，是易错题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（Ⅰ）计算：（a
•b
）
÷
÷
；
，解得0＜k＜1，∴④错
（Ⅱ）已知lga+lgb=2lg（a﹣2b），求的值．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）利用有理指数幂的运算法则求解即可． （Ⅱ）利用对数运算法则化简求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）（a
•b
）
÷
÷
=
=1 …
（Ⅱ）∵lga+lgb=2lg（2﹣2b），∴lgab=lg（a﹣2b）2． ∴ab=（a﹣2b）2，a2+4b2﹣5ab=0，（）2﹣5•+4=0． 解之得=1或=4．…
∵a＞0，b＞0，若=1，则a﹣2b＜0，∴=1舍去． ∴=4．…
【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．
18．设p：函数f（x）=|x﹣a|在区间（4，+∞）上单调递增；q：loga2＜1，如果“¬p”是真命题，“q”也是真命题，求实数a的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假． 【专题】计算题．
【分析】由已知中p：函数f（x）=|x﹣a|在区间（4，+∞）上单调递增；q：loga2＜1，我们可以分别求出满足条件的a的取值范围，再由“¬p”是真命题，“q”也是真命题，构造关于a的不等式组，即可得到答案．
【解答】解：∵p：函数f（x）=|x﹣a|在区间（4，+∞）上单调递增； 故a≤4
又∵q：loga2＜1， ∴0＜a＜1或a＞2
如果“¬p”为真命题，则p为假命题，即a＞4 又q为真，即0＜a＜1或a＞2 ∴a＞4
故实数a的取值范围是a＞4
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，其中分别求出满足命题p和命题q的a的取值范围，是解答本题的关键．
19．（Ⅰ）已知sinθ，cosθ是方程4x2﹣4mx+2m﹣1=0的两个根，
＜θ＜2π，求角θ．
（Ⅱ）已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R，若α=60°，R=10cm，求扇形的弧与弦所围成的弓形的面积．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；扇形面积公式．
【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用；三角函数的求值．
【分析】（Ⅰ）以一元二次方程为载体，通过根与系数的关系，得到正弦和余弦之间的关系，又由正弦和余弦本身有平方和为1的关系，代入求解，注意角是第四象限角，根据角的位置，得到结果．
（Ⅱ）直接求出扇形的面积，求出三角形的面积，然后求出扇形的弧所在的弓形面积；
【解答】解：（Ⅰ）∵sinθ+cosθ=m，sinθcosθ=且m2﹣2m+1≥0
代入（sinθ+cosθ）2=1+2sinθ•cosθ， 得m=∴sinθ•cosθ=∴sinθ=﹣∴θ=
，又
＜θ＜2π， ＜0，sinθ+cosθ=m=，cosθ=，又∵
＜θ＜2π，
，
，
．…
（Ⅱ）设弧长为l，弓形面积为S弓， ∵α=60°=
，R=10，∴l=
π（cm），
S弓=S扇﹣S△=×=50（
﹣
π×10﹣×102×sin60°
）（cm2）． …
【点评】本题考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力，是一道难度稍大的题，首先是需
要自己根据条件写出关于正弦和余弦的关系式，然后根据正弦和余弦本身具有的关系和角的位置求出结果．属于中档题．
20．设函数f（x）=x2ex﹣1+ax3+bx2，已知x=﹣2和x=1为f（x）的极值点． （1）求a和b的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x3﹣x2，试比较f（x）与g（x）的大小．
【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】压轴题． 【分析】（Ⅰ）根据已知x=﹣2和x=1为f（x）的极值点，易得f'（﹣2）=f'（1）=0，从而解出a，b的值．
（Ⅱ）利用导数求解函数单调的方法步骤，进行求解． （Ⅲ）比较大小，做差f（x）﹣g（x）=x2（ex﹣1﹣x），构造新函数h（x）=ex﹣1﹣x，在定义域内，求解h（x）与0的关系． 【解答】解：（Ⅰ）因为f'（x）=ex﹣1（2x+x2）+3ax2+2bx=xex﹣1（x+2）+x（3ax+2b）， 又x=﹣2和x=1为f（x）的极值点，所以f'（﹣2）=f'（1）=0，
因此（Ⅱ）因为
解方程组得，b=﹣1．
，b=﹣1，所以f'（x）=x（x+2）（ex﹣1﹣1），
令f'（x）=0，解得x1=﹣2，x2=0，x3=1．
因为当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，1）时，f'（x）＜0； 当x∈（﹣2，0）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（﹣2，0）和（1，+∞）上是单调递增的；在（﹣∞，﹣2）和（0，1）上是单调递减的． （Ⅲ）由（Ⅰ）可知
，
故f（x）﹣g（x）=x2ex﹣1﹣x3=x2（ex﹣1﹣x），令h（x）=ex﹣1﹣x，则h'（x）=ex﹣1﹣1． 令h'（x）=0，得x=1，因为x∈（﹣∞，1]时，h'（x）≤0，
所以h（x）在x∈（﹣∞，1]上单调递减．故x∈（﹣∞，1]时，h（x）≥h（1）=0； 因为x∈[1，+∞）时，h'（x）≥0，所以h（x）在x∈[1，+∞）上单调递增． 故x∈[1，+∞）时，h（x）≥h（1）=0． 所以对任意x∈（﹣∞，+∞），恒有h（x）≥0，又x2≥0，因此f（x）﹣g（x）≥0， 故对任意x∈（﹣∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）． 【点评】本题是一道关于函数的综合题，主要考查函数的单调性、极值等基础知识，应熟练掌握利用导数求解函数单调的方法步骤等问题．
21．已知0＜a＜1，在函数y=logax（x≥1）的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是t，t+2，t+4
（Ⅰ）若△ABC面积为S，求S=f（t）；
（Ⅱ）判断S=f（x）的单调性，求S=f（t）最大值． 【考点】对数函数的图像与性质；复合函数的单调性．
【专题】计算题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）先画出对数函数的图象，根据S=|A'C'|•|BD|求得三角形ABC的面积，再运用对数的运算性质对函数式化简；
（Ⅱ）根据复合函数单调性的判断法则确定f（t）的单调性，再求出函数的最大值． 【解答】（Ⅰ）如右所示，设A'、B'、C'是A、B、C在x轴上的射影， 则A（t，logat），B（t+2，loga（t+2）），C（t+4，loga（t+4））， 设BB'与AC相交于点D，则可得D（t+2，（logat+loga（t+4）））， 于是S=f（t）=|A'C'|•|BD|=•4•[（logat+loga（t+4））﹣loga（t+2）] =2loga
=loga
（0＜a＜1，t≥1）；
（Ⅱ）∵x≥1，∴t≥1，∵S=f（t）=logα=loga[1﹣
]，
∴当t≥1时，u=（t+2）2是单调递增，
单调递增，
∵0＜α＜1，∴S=f（t）在[1，+∞）上是单调递减函数， ∵t≥1时，有
≤，
∴1﹣
≥，logα[1﹣
]≤，
因此，S=f（t）的最大值是logα．
【点评】本题主要考查了对数函数的图象与性质和复合函数单调性的判断，以及分类讨论，数形结合的解题思想，属于中档题．
22．已知函数g（x）=
+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣
﹣lnx（m∈R）．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围； （Ⅲ）设h（x）=
，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，
求m的取值范围．
【考点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）由题意可知（0，π），可以得到θ的值． （2）由题设条件知
．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，结合θ∈
．mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣
2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．由此知（3）构造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x），
，由此可知m的取值范围．
．由此入手可以得
到m的取值范围是．
【解答】解：（1）由题意，≥0在[1，+∞）上恒成立，即
．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ•1﹣1≥0， 即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得（2）由（1），得f（x）﹣g（x）=
． ．
∴．
∵f（x）﹣g（x）在其定义域内为单调函数，
∴mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2﹣2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即
，
）max=1，∴m≥1．mx2﹣2x+m≤0等价于m（1+x2）≤2x，即
∈（0，1]，m≤0．
而，（
在[1，+∞）恒成立，而
综上，m的取值范围是（﹣∞，0]∪[1，+∞）． （3）构造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x），当m≤0时，x∈[1，e]，
，
，
．
所以在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立． 当m＞0时，
因为x∈[1，e]，所以2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立． 故F（x）在[1，e]上单调递增，
，只要
，
．
解得．
故m的取值范围是．
【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．
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