信号与系统教案(第5次课)

一、信号的时域分解与卷积积分 • 信号的时域分解与卷积积分 • 卷积的图解法 1．信号的时域分解

任意信号分解

limfˆ(t)f(t)0f()(t)d

2 .任意信号作用下的零状态响应

卷积积分

yzs(t)f()h(t)d3 .卷积积分的定义

已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分

f(t)

f1()f2(t)d为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)

注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。

yzs(t)f()h(t)df(t)*h(t)二、卷积的图解法

卷积过程可分解为四步：

（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ)

（2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ)

（4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 注意：t为参变量。 求某一时刻卷积值

图解法一般比较繁琐，确定积分的上下限是关键。但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。

§2.4 卷积积分的性质

卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。

• 卷积代数运算

• 与冲激函数或阶跃函数的卷积 • 微分积分性质 • 卷积的时移特性 • 相关函数

一、卷积代数运算

1．交换律

f(t)f(t)f(t)f(t)221 12．分配律

f(t)[f(t)f(t)]f(t)f(t)f(t)f(t)1231213

系统并联运算

3．结合律

f(t)f1(t)f2(t)f(t)[f1(t)f2(t)]

系统级联运算

二、与冲激函数或阶跃函数的卷积

1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t)

2. f(t)*δ’(t) = f’(t) t3. f(t)*ε(t) f()(t)df()d

三、卷积的微积分性质

1. 2.

dnf1(t)dnf2(t)dnf(t)*f2(t)*f2(t)f1(t)*n1ndtdtdtnt[f1()*f2()]d[tf1()d]*f2(t)f1(t)*[tf2()d]3. 在f1(– ∞) = 0或f2

(–1)(–1)

(∞) = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(t)

四、卷积的时移特性

若 f(t) = f1(t)* f2(t)，

则f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)

求卷积是本章的重点与难点。 求解卷积的方法可归纳为：

（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。

（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。

五、相关函数

相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。

相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是没有一个函数的反转。 • 相关函数的定义 • 相关与卷积的关系 • 相关函数的图解 1.定义

实能量有限函数f1(t)和f2(t)的互相关函数  R12()f1(t)f2(t)dtf1(t)f2(t)dt

R()f(t)f(t)dtf(t)f(t)dt212112

互相关是表示两个不同函数的相似性参数。可证明，R12(τ)=R21(–τ)。 若f1(t)= f2(t) = f(t)，则得自相关函数 R()f(t)f(t)dt f(t)f(t)dt

显然，R(-τ)= R(τ)偶函数。 2. 相关与卷积的关系  R12(t)f1(x)f2(xt)dxf1(t)*f2(t)f1(x)f2(tx)dxR12(t)= f1(t)* f2(–t) R21(t) = f1(–t)* f2(t) 。

可见，若f1(t)和 f2(t)均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。