人教版初一数学上册《整式的加减》单元复习与巩固(基础)知识讲解

《整式的加减》全章复习与巩固（基础）知识讲解

【学习目标】

1．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；

2．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；

3．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想． 【知识网络】

【要点梳理】

要点一、整式的相关概念

1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 3. 多项式的降幂与升幂排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置； （2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4．整式：单项式和多项式统称为整式． 要点二、整式的加减

1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．

要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不

变．

3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．

4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．

5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 【典型例题】

类型一、整式的相关概念

1．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式． (1)a3 (2)5 (3)(9)

xmn2x (8)1+a% b (4)y (5)3xy (6) (7)

25a1(ab)h 2【答案与解析】

解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)

单项式：(2)、(5)、(6)，其中：

5的系数是5，次数是0；3xy的系数是3，次数是2；多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：

x1的系数是，次数是1.

a3是一次二项式；

xmn是一次二项式；1+a%是一次二项式； y是一次二项式；

251(ab)h是二次二项式。 2【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故母，故

2b不是整式；②π是常数而不是字ax是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项mnmn111式中不能有加减．如其实质为，(ab)h其实质为ahbh．

555222举一反三：

【变式1】(1)xy的次数与系数的和是________；

(2)已知单项式6xy的系数是等于单项式2xy的次数，则m＝________；

(3)若mab是关于a、b的一个五次单项式，且系数为9，则-m+n＝________． 【答案】 (1)3 (2)1 (3)-5

【变式2】多项式2yy3yy1是________次________项式，常数项是________，

4322m53n

三次项是________． 【答案】四，五， 1 ， y

【变式3】把多项式13x2x5x按x的降幂排列是________． 【答案】2x5x3x1

32323类型二、同类项及合并同类项

2．（2015•遵义）如果单项式﹣xy与x【答案】1． 【解析】

解：由同类项的定义可知 a﹣2=1，解得a=3， b+1=3，解得b=2，

所以（a﹣b）=1．

【总结升华】考查了同类项，要求代数式的值，首先要求出代数式中的字母的值，然后代入求解即可． 举一反三： 【变式】若7xy与【答案】 5 ， 4

a42015

b+1

a﹣23

y是同类项，那么（a﹣b）

2015

= ．

75bxy是同类项，则a＝________，b＝________． 9类型三、去（添）括号

3． 计算 3x2(12x)[5x(4x3x6)] 【答案与解析】

解法1： 3x2(12x)[5x(4x3x6)] 3x24x(5x4x3x6)

2222222223x24x2x23x6 2x2x4 222解法2：3x2(12x)[5x(4x3x6)]

3x24x5x(4x3x6)

2222x24x24x23x6 2x2x4

【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号． 举一反三：

【变式1】下列式子中去括号错误的是( )． A．5x－(x－2y＋5z)＝5x－x＋2y－5z

22

B．2a＋(－3a－b)－(3c－2d)＝2a－3a－b－3c＋2d

C．3x－3(x＋6)＝3x－3x－6

2222

D．－(x－2y)－(－x＋y)＝－x＋2y＋x－y 【答案】C

【变式2】化简：-2a+(2a-1)的结果是( )． A．-4a-1 B．4a-1 C．1 D．-1 【答案】D

22

类型四、整式的加减

4.（2016•邢台二模）设A，B，C均为多项式，小方同学在计算“A﹣B”时，误将符号抄错而计算成了“A+B”，得到结果是C，其中A=x+x﹣1，C=x+2x，那么A﹣B=（ ） A．x﹣2x B．x+2x C．﹣2 D．﹣2x

【思路点拨】根据题意得到B=C﹣A，代入A﹣B中，去括号合并即可得到结果． 【答案】C． 【解析】

解：根据题意得：A﹣B=A﹣（C﹣A）=A﹣C+A=2A﹣C=2（x+x﹣1）﹣（x+2x）=x+2x﹣2﹣x﹣2x=﹣2， 故选C.

【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．

举一反三：

2

2

2

2

2

2

2

2

11(a8b12c)3(2c2b)

3211【答案】原式aa4b6c6c6b

321 a10b

6【变式】计算：a

类型五、化简求值

5. （1）直接化简代入 已知x122，y1，求5(2xy3x)2(4x3xy)的值． 2m5 （2）条件求值 (烟台)若3xy2与x3yn的和是单项式，则mn________．

（3）整体代入

22

已知x-2y＝1，那么2x-4y+3＝________． 【答案与解析】

22

解：（1）5(2xy-3x)-2(4x-3xy)

22

＝10xy-15x-8x+6xy

2

＝16xy-23x

当x1，y＝-1时， 22123311 原式＝16(1)234．

2222（2） 由题意知：3xn2m5y2和x3yn是同类项，所以m+5＝3，n＝2，解得，m＝-2，n＝2，

所以m(2)4．

（3）因为2x4y32(x2y)3， 而x2y1

所以2x4y32135．

【总结升华】整体代入求值的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条

件之间的联系． 举一反三：

【变式1】（2015•娄底）已知a+2a=1，则代数式2a+4a﹣1的值为（ ） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【答案】B

【高清课堂：整式的加减单元复习388396经典例题7】

【变式2】已知m2n5，求5(m2n)6n3m60的值. 【答案】5(m2n)6n3m605(m2n)3(2nm)60

2222

2

2222m2n2nm5

所以，原式=55356080．

2类型六、综合应用

【高清课堂：整式的加减单元复习388396经典例题1】

2mx-x+3x+1-5x-4y+3x6. 已知多项式

是否存在m ，使此多项式与x无关？若不存在，说明理由；若存在，求出m 的值. 【答案与解析】

(2m15)x(33)x4y1解：原式

222222(2m6)x24y21要使原式与x无关，则需该项的系数为0，即有2m60，所以m3 答：存在m使此多项式与x无关，此时m的值为3.

附录资料：

方程的意义（基础）知识讲解

【学习目标】

1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；

2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；

3. 理解并掌握等式的两个基本性质. 【要点梳理】

【高清课堂：从算式到方程 一、方程的有关概念】

要点一、方程的有关概念

1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点诠释：

判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 要点诠释：

判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；

②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．

3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 【高清课堂：从算式到方程 二、一元一次方程的有关概念】

要点二、一元一次方程的有关概念

定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.

要点诠释： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：

①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．

【高清课堂：从算式到方程 三、解方程的依据——等式的性质】

要点三、等式的性质

1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质：

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 如果

，那么

(c为一个数或一个式子) .

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：

如果

，那么

；如果

，那么

.

要点诠释：

（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立， 如x＝0中，两边加上

得x＋

，这个等式不成立;

(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．

【典型例题】

类型一、方程的概念

1．下列各式哪些是方程？

①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6；

2

④2m-3n＝0； ⑤3x-2x-1＝0； ⑥x+2≠3； ⑦

2285xx5； ⑧． x153【答案与解析】

解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧． 【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可

以是一个，也可以是多个． 举一反三：

【变式】下列四个式子中，是方程的是（ ）

A. 3+2=5 B. x=1 C. 2x﹣3＜0 D. a+2ab+b【答案】B．

2

2

2．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（ ） A. 4x﹣1=3x+2 B. 4x+8=3（x+1）+1 C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1 D. x+4=3（2x﹣1） 【答案】C．

【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是． 举一反三：

【变式】下列方程中，解是x=3的是( )

A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．

2x17 3类型二、一元一次方程的相关概念

3．（2016春•南江县期末）在下列方程中①x+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤

=y+是一元一次方程的有（ ）个．

2

A．1 B．2 C．3 D．4

【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断. 【答案】B.

【解析】解：①x+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤

=y+是一元一次方程；一元一次方程

2

的有2个，故选：B． 【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．

举一反三：

【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）． ①2x-1＝4；②x＝0；③ax＝b；④【答案】①②.

151． x类型三、等式的性质

4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的． (1)如果

44x115，那么x5________； 3343t，那么t＝________． 34 (2)如果ax+by＝-c，那么ax＝-c+________； (3)如果 【答案与解析】

解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11； (2).（-by）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by； (3).93； 根据等式的性质2，等式两边都乘以． 164 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．

举一反三：

【变式】下列说法正确的是( )．

A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c.

B．在等式a＝b两边除以c+1，可得 C．在等式

2

ab. c21c21bc两边都除以a，可得b＝c. aa D．在等式2x＝2a-b两边都除以2，可得x＝a-b. 【答案】B.

类型四、设未知数列方程

5．根据问题设未知数并列出方程：

一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？ 【答案与解析】

解：设小明要做对x道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．

可以采用列表法探究其解

显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80． 所以小明要做对21道题．

【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式． 举一反三：

【变式】根据下列条件列出方程． (l)x的5倍比x的相反数大10； (2)某数的

3比它的倒数小4； 4 (3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5

分钟出发，问甲用多少时间追上乙？ 【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则题意得

13x4；(3)设甲用x分钟追上乙，由x411(x5)x． 3020