参数估计中N-R迭代算法分析与实现

２０１０年第６期　福建电脑　６７　参数估计中Ｎ—Ｒ迭代算法分析与实现　李华群１，２　（Ｉ、南昌大学信工学院江西南昌３３００３１　２、赣南师范学院科技学院江西赣州３４１０００）　【摘要】：本文介绍了项目反应理论的基础知识，在ＩＲＴ理论下，实现了逻辑斯帝模型（单参数情况）较好的估计项目　难度ｄ和能力参数。在进行估计时，采用极大似然法进行估计，用牛顿一拉夫森迭代法（Ｎ—Ｒ）进行求解，给出了Ｎ—Ｒ算法步　骤。最后，采用数据测试算法，求出项目难度和能力参数。　【关键词】：ＩＲＴ逻辑斯蒂模型极大似然法Ｎ—Ｒ难度参数能力参数　ｌ、项目反应理论背景及介绍　数目　项目反应理论是新近发展起来的一种先进测试理论．基于　。ｍ：表示迭代的次数。　这一理论的测试模型称为ＩＲＴ模型。ＩＲＴ模型是一种数学模型，　它的特点是以概率来解释应试者对试题的反应和其潜在能力特　辜　＝　为射个被试者的得分　攀“　为第　个项目的得　质之间的关系　项目反应理论不下２０余种．可根据实际情况选　分　择适当的模型　然后，采用极大似然法，对于Ａ计算一阶和二阶偏导数，得　ＩＲＴ还在测试方法上有新的突破，１种新的测试形式：计算　到：　机自适应测试正是在此基础上得以实现的。　２、逻辑斯谛模型介绍　逻辑斯谛模型包括单参数、双参数和三参数模型。在这一些　苦　㈥　誉＝一　）㈤　模型中．只有单参数模型（拉希模型）可以采用手工方式进行参　数估计．其他模型只能借助计算机进行处理。目前最常用的参数　ｍ估计方法是各种极大似然法．其次是贝叶斯方法。所有这些方法　嚣＝－　Ｎ：㈤　筹＝一　Ｎ　Ⅳ∑，　）㈦　都是以被试对于项目反应的得分情况作为参数估计基础的．因　此首先应该对被试的得分分布进行分析　以上四个表达式中．　单参数模式特征函数：Ｐ（０）＝ｌ／　＋ｅＤ（Ｏ　’）：　双参数模式特征函数：Ｐ（Ｏ）＝１／　＋ｅ　）　：：ｅｘｐ（Ｏｌ－ｂ；）／［１＋ｅ　一　）］¨∑　　三参数模式特征函数：Ｐ（０）＝ｃ＋０一ｃｙ　＋ｅ　为了解出上述方程，我们将被试按照其得分分组，于是，得　其中：Ｄ＝１．７０２。为一常数；　分为ｒ的被试答对项目　的概率　为：　Ｏ为被试能力值（其值有正负之分，一般取值：－４＜Ｏ＜４：ａ为题　ｅ　＝∞ｑｐ（　一　）／【１＋ｅｘｐ（ｏ，一　）】　（７）　目的区分度。即特征曲线的斜率．它的值越大说明题目对受测者　的区分度越高。　由此而得到：　ｂ为题目的难度，即特征曲线在横坐标轴上的投影。　ｃ为题目的猜测系数，即特征曲线的截距，其值越大，说昵不　４、Ｎ—Ｒ迭代算法实现　论受测者能力高低。都容易猜对本道题目。　通过以下的步骤可以将项目参数ｄ；和被试能力０　估计出来：　Ｐ（Ｏ）指能力为０的人答对此题目的概率．其数值介于０与ｌ之　间。一般题目的Ｐ值建议以０．２－０．８为宜。　０　的初始值为：Ｏ＝ｌｎ　Ｊ．．．．，Ｌ－１）　Ｌ－ｒ　根据上面所给出的三种参数特征函数，可以进行判断，改进　ｄｉ的初始值如下式所示，并使其平均ｄ　，　等功能的选择．以便更精确的确定所要估计的参数估计．以达到　更精确的目的　ｄ（Ｏ）＝ｌｎ（Ｎ　－ｓ￣　…　３、Ｎ—Ｒ迭代算法分析　单参数模型又称拉希模型是关于被试ｉ对于项目ｉ作为反应ｕ　算法实现流程图如下：　的概率模型．它可以写作　Ｐ（　Ｉ　，岛）＝ｅｘｐ［ｕｕ（　一岛）］／［１＋ｅｘｐ（　一岛）］（１）　项目难度参数　被试能力参数估计　山　反应数据矩阵（（Ｕ　））的似然函数Ａ为：　广．ｒ　ｔ　１　．．　Ａ＝ｅｘｐＩ　一　）Ｉ／孛孛［一＋ｅ　（　－ｂｉ）］　Ⅳ　ｃ　Ⅳ　￡　一　（２）　ＯＡ＝ＩｎＡ＝∑　一∑　一∑∑ｌｒＩＩ　１＋ｅＸｐ　一　）ｌ　其中，　：被试萄的能力参数　ｂｉ：项目　难度参数　：若为Ｊ，则被试者答对项目，若为Ｄ，则被试者答错项目　ｓ　：表示第　个项目的得分　：表示得分为ｒ的被试能力估计　值　：表示第　个项目的难度估计值　：表示得分为ｒ的被试　（下转第９９页）　２０１０年第６期　福建电脑　０　学生综合考评中德育．体育部分的评价本身是一个主观的　对评价指标Ｃ　打出　，级别分数的人数　判断．评议者在打分时容易收到主观因素的影响。易出现对不同　‘　，＝—　—・——－－——————－—・・—・—・・－－———　。。‘。。。　。。‘。　。。——‘‘—‘‘。‘。‘—　—　——一　参与打分的总人数　学生在使用同一评价指标评分时权重不同的情况。让评议者根　ｅ得出统计评议者的评价得出模糊评价矩阵为　据感觉对模糊的评价项目做出精确的判定分值并不合理。文中　０　８　Ｏ　２　０　０　采用多位评议者共同确定各项评价指标的权值．得到一个由各　Ｏ　９　Ｏ　１　０　０　指标权值组成的向量。评议者打分中只需做定性的描述，对这些　０　０　６　Ｏ　３　０．１　描述进行统计构建出一个选手的模糊评价矩阵．再将评价矩阵　Ｏ　０．８　０．２　０　与指标向量做模糊乘运算得到选手的模糊评价子向量。用子向　Ｏ　９　０．１　０　０　Ｏ　Ｏ　０．７　０　３　量乘以评判级别的分值的到选手的成绩．此时也就完成了将评　０　Ｏ．２　０　７　０　ｌ　议者主观判定转化为客观分值。实验证明。本文所用方法能将评　模糊子向量Ｏｔ为：ａ＝Ｗ・Ｔ＝『０．２２９３　０．２００　０．１６２８　０．１３９９　０　议者做出的定性描述合理的转换为定量的分值．且该分值更为　ｏ］，做归一化处理后得到模糊评价子向量Ｂ为：　客观，真实。　１３＝［ｏ．３１３３　Ｏ．２７３２　０．２２４０　０．１９１１　０　ｏ］，　参考文献：　ｓ＝１３・ｋ　【１】１姜启源．谢金星．叶傻．数学模型【Ｍ】．北京：高等教育出版社．２００９－￣Ｆ　＝（０＿３１３３ｘ９５４－０．２７３２ｘ８５＋０．２２４０ｘ７５＋０．１９１１×７Ｏ＋Ｏ×６Ｏ＋０×５０）　第３版．　＝８３．１６２５　【２１王立新．王迎军．模糊系统与模糊控制教程［Ｍ】．北京：清华大学出版　该学生的体育德育综合得分为８３分。设智育部分的得分为　社．２００３年６月第１版．　７５．分值权重为Ｏ．７．其他项目的综合得分权重为０．３，则该生的最　【３】冯梅．模糊综合评价模型在教师评价中的应用Ⅱ】．北京：数学的实践　后得分为Ｔ：Ｒ×　．＋Ｓ×ｌｌ，１＝７５ｘ０．７＋８３ｘ０．３＝７７．４。则该学生综合考　与认识，２００４，３４（１１）：３５－３８．　评后的总成绩为７７．４分　【４］张永梅．崭雁霞．董永华．大学生创新能力评价系统的实现Ⅱ］．南昌：　３．结语　计算机与现代化，２００８，Ｉ：１２１－１２３．１２６．　（上接第５９页）　（１）ｉａｖａ只支持单继承，不允许多重继承。在ＪＡＶＡ中，一　的实例对象时．系统默认调用父类无参数的构造方法。　个子类只能有一个父类．不允许一个子类有多个父类。　（５）当一个子类对象的引用被赋给一个超类引用变量时，你　（２）可以有多层继承，即一个类可以继承某一个类的子类，　只能访问超类定义的对象的那一部分。因为超类不知道子类增　如类Ｂ继承了类Ａ．类Ｃ又可以继承类Ｂ．那么类Ｃ也间接继承　加的属性。　了类Ａ。如下所示：ｃｌａｓｓ　Ａｆ１；ｃｌａｓｓ　Ｂ　ｅｘｔｅｎｄｓ　Ａ　ｃｌａｓｓ　Ｃ，ｅｘｔｅｎｄｓ　Ｂ｛｝。　参考文献：　（３）子类继承父类所有的成员变量和成员方法，但不继承父　【１】张岚，张志伟．浅谈面向对象的程序设计ｏ】内蒙古科技与经济，２００９　类的构造方法。在子类的构造方法中可以使用语句ｓｕｐｅｒ（参数　（０５）．　列表）调用父类的构造方法。当子类覆盖父类的方法后要想调用　［２］刘少英，革俊．Ｊａｖａ中重栽和重写的动态绑定研究ｏ】软件导刊，２００９　父类的方法用ｓｕｐｅｒ．ｇｅｔＸＸＸ（…１：的形式。　（Ｏ７）　（４）如果子类的构造方法中没有显式地调用父类构造方法，　［３］曾崇杰．面向对象抽象思维与ｊａｖａ继承机制仞福建电脑２００８．（Ｏ４）　也没有用ｔｈｉｓ关键字调用重载的其他构造方法．则在产生子类　（上接第６７页）　通常．经过３￣４个循环既可达到这一要求。　２、侯书红．基于ＩＲＴ参数估计的两种初始估计科技信息。２００７年　运用此模型可对模型进行参数估计．获得精确的参数估计　项目难度参数：　项目能力参数：　值。　序号　项目名称　项目难度　采用赖特１９７９年《最佳测验设计》中的（３５个被试对于１８个　能力估计　ｌ　３　—４．１８ｆｉ　项目的反应数据》中的数据测试，我用Ｃ语言编制了该方法的程　原始分数　被试数　值　２　３　－－０．３５４８　序．　１３　０　５．０９　结果如表１：　３　３　－３．２２　ｌ２　０　４．１１　根据这些数据可求解出此表中的难度参数估计值和能力参　４　４　—３．６４８　ｌｌ　２　３．３ｌ　数估计值，跟准确的确定学生的信息。　５　４　－２．２４１　１０　ｌ　２．５３　５、进一步研究的问题　６　４　—３．２２　９　４　Ｉ．７ｌ　本模型只采用了简单的对单参数模型的参数估计．采用了　７　哇　一１．４９８　８　５　０．８ｌ　拉希模型进行参数估计，能够更精确的估计出结果．但是却只是　８　５　０．７６　７　ｌ２　０．２２　单单从难度进行扩展，还需要更全面的扩展，对能力等因素要更　９　５　２．１８５　６　３　－Ｉ．１９　加的研究和探讨。　ｔ０　５　１．８６２　初值的问题．项目反应理论中发展了一套完整的参数估计　５　２　—１．９６　ｌ１　６　３．２ｌ４　技术，这些方法通常都离不开迭代，迭代对初值要求比较高，要使　４　２　－２．６ｌ　其误差最小．就要用到更加严密的参数估计分析。　１２　６　４．５６４　３　２　—３．２ｌ　１３　６　４．５６４　２　１　．＿３．Ｂ６　参考文献：　１４　６　４．５６４　ｌ　０　－４．７３　１、高怀勇．金桂林．项目反应理论及其在计算机自适应测试中的应用　表１：　西华师范大学学报（自然科学），２００８年