均值不等式导学案

编者：王德江 上课时间：___________ 一、 课前自主预习：

1．均值定理(又称基本不等式或均值不等式) (1)形式： . (2)成立的前提条件： ， .

(3)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． 2．算术平均值和几何平均值 (1)定义 叫做正实数a、b的算术平均值． 叫做正实数a、b的几何平均值． (2)结论

两个正实数的算术平均值 它们的几何平均值．

(3)应用基本不等式求最值如果x、y都是正数，那么①若积xy是定值P，那么 时，和x＋y有 值．②若和 x＋y是定值S，那么当 时，积xy有 值．

上述命题可归纳口诀：积定和最 ，和定积最 ．

3、重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”) 4．已知x，y都是正数，求证：

(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值________； (2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值_________.

5、基本不等式的几种常见变形：

baba当ab0时，______,当ab0时，________,abab

11当a0时，a______,当a0时，a_________.aa二、讲练结合:

212b[例1] 已知m＝a＋ (a>2)，n＝2 (b≠0)，则m、n的大小关系是( )

a2A．m>n B．m1

C．m＝n D．不确

练习1、某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则 ( )

1[例2]已知0＜x＜ ，求函数y＝x(1－3x)的最大值．

3 练习2：

11

练习3：已知x、y>0且x＋y＝1，求P＝x＋x＋y＋y的最小值。

2

二、 综合训练：

1．设x＋3y＝2，则函数z＝3x＋27y的最小值是________. 2．下列函数中，最小值为4的是 ( )

3．周长为l的矩形对角线长的最小值为________．

4．若x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________． 5．x、y∈R＋，则下列不等式中，等号不成立的是 ( )

1111

A．x＋x＋1≥2 B．(x＋x)(y＋y)≥4

x＋x

lgx＋lgy2lg2x＋lg2y11

C．(x＋y)(x＋y)≥4 D．(2)≤ 2

6．若a>b>0，则下列不等式成立的是 ( )

a＋ba＋b

A．a>b>2>ab B．a>2>ab>b

a＋ba＋bC．a>2>b>ab D．a>ab>2>b

x

7．(2008·重庆文)函数f(x)＝的最大值为 ( )

x＋1

21A.5 B.2

2

C.2 D．1

1

8．若x>4，则函数y＝x＋ ( )

x－4

A．有最在值－6 B．有最小值6

3

D．有最小值2

a＋b1

，则 9、若a>b>1，P＝lga·lgb，Q＝2(lg a＋lg b)，R＝lg 2

( )

A．Rt＋112

10．设实数a使a＋a－2>0成立，t>0，比较2logat与loga2的大小，结果为________________． 11．函数y＝x·(3－2x) (0≤x≤1)的最大值为______________． 12．已知a>0，b>0，a＋b＋3＝ab，则a＋b的最小值为________． 13．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny

11

－1＝0(mn>0)上，则m＋n的最小值为________．

111

14．已知a<0，b<0，c<0，且a＋b＋c＝－1，求a＋b＋c的最大值．

b2

15、设a≥0，b≥0，a＋2＝1，求a1＋b2的最大值。

2

C．有最大值－2

4