1. 抽象代数

第九章 抽象代数线性空间泛函分析

本章内容包括抽象代数、线性空间与泛函分析三个部分，重点介绍线性空间. 为了介绍线性空间的需要，这里简略地介绍了抽象代数的初步知识，即群、环、域等基本概念及其简单的性质. 泛函分析是作为线性空间的理论在分析上应用的一个范例来介绍的，因而也不作系统的叙述. 在这里除了叙述勒贝格积分的基本概念与重要性质外，还扼要地介绍了赋范线性空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间和它们的一些简单的性质.

在线性空间部分介绍了线性空间、线性变换、酉空间、二次型和埃尔米特型、方阵的若当标准型等的定义、性质以及一些算法.

§1 抽象代数

一、 基本代数系统

[代数运算] 假定对于集（见第二十一章，§1，一）A中任意元素a与集B中任意元素b，按某一法则可以与某一集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A，B的一个（二元）代数运算. 集A，B也可以是同一个集，就是对A中任两个元素a，b，可以唯一确定元素c，使cab，c可属于A或不属于A，若属于A，则称A在运算\"\"下是封闭的.

在二元运算\"\"下，若对A的任意两个元素a和b成立abba，则称A是可交换的. 若对A的任意三个元素a，b，c在\"\"下，成立a(bc)(ab)c，则称A是可结合的. 若运算\"\"是通常的加法或乘法，就分别记作ab或ab. 整数集中的加法和乘法都是可交换的与可结合的，因此整数集是可交换和可结合的.

[代数系统] 如果一个集A具有满足某些法则的代数运算，就称集A为代数系统. 群、环、域就是三个基本的代数系统.

二、 群

[群的定义与例子] 设G不是空集（见第二十一章，§1，一），对G给定一个代数运算\"\"，若在\"\"之下，满足下列四个条件，则称G为一个群：

（i） G在\"\"之下是封闭的，即对每一对元素a,bG，则有唯一确定的元素cab，且cG.

（ii） G在\"\"之下是可结合的，即对任意a,bG，有 a(bc)(ab)c

（iii） 在G中有一元素e，对任一aG，满足 aeeaa

（iv） 对任一aG，都有一个a1G，满足 aa1a1ae

条件（iii）中的e称为单位元或恒等元；条件（iv）中的a1称为a的逆元. 注意，定义中条件（iii）可改为：有一个左单位元e（或右单位元e），使eaa（或aea），对任意aG成立. 因为由此推出eeee. 因此，群中单位元是唯一的. 定义中条件（iv）可改为：每个元a有左（或右）逆元a1，使a1ae（或aa1e）成立. 因为由此推出(a1)1(a1)1a1aeaa，从而aa1(a1)1a1e也成立. 因此，群中每个元的逆元是唯一的.

若一个群G的乘法\"\"可交换，则称G为交换群或阿贝耳群. 特别在加法之下，交换群

称为加法群. 在加法群时，\"\"改为\"\"，逆元a1改为负元-a，单位元称为零元，记作0.

例1 整数集N组成一个加法群；有理数集、实数集、复数集各组成一个加法群. 例2 非零的实数集R*对于乘法组成一个群. 正的实数集R()对于乘法也组成一个群. 例3 一切元在数域F中的n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法组成一个群，记作GLn(F). 例4 设Ω是一个平面图形，则G组G是平面上一切使Ω不动的正交变换所组成的集，成一个群. G通称为图形Ω的对称群.

例5 一切n次置换的集合组成一个群，称为置换群，记作Sn. 事实上，若任取两个n次置换：

12n12 1iii,2jjn21212可改写为：

i1i2in 2kkk

2n1对置换1和2，规定置换

12n 3kkk

2n1和它们对应，即3为1和2的乘积，记作

312

在这个乘法之下，不难推出Sn满足群中规定的条件，因而Sn组成一个群.

例6 非空集S到自身的一切可逆变换（见第二十一章，§1，二）对于变换的乘法组成一个群，称为集S的全变换群，记作GS. GS的子群称为S上的变换群. [群的基本性质]

1o 在群中，对任意元a，b，方程 axb,yab 各有解. 即xa1b,yba1.

2o 消去律成立. 即若cada，则cd. 3o 群中一般结合律成立. 即

n jnaaii1j1nmnjai

i1nm 4o 交换群中一般交换律成立. 即

a1a2anai1ai2ain 式中i1,i2,,in是1,2,,n的任一排列.

[子群] 设群G的非空子集H对于G的运算也组成一个群，则称H为G的一个子群. 群G的非空子集H是子群的充分必要条件是：若a,bH，则ab1H. 任意个子群的交集（见第二十一章，§1，三）是一个子群.

[循环群] 一个元a的一切乘幂a0e,a,a2,的全体组成一个群，称为循环群. 循环群是交换群.

若序列e,a,a2,中没有两个元素相等的，则称G为无限循环群. 若有相等的元素，即

aiaj,ij 可推出G为n个元e,a,a2,,an1的集，即 G{e,a,,an1}

这时称G为有限循环群，n称为G的阶，即n为使ane的最小正整数.

循环群的子群还是循环群. [不变子群·陪集·商群] 设H为群G的一个子群，若对每个元gG, 有 gHHg

(这里gH表示g与H中一切元素的乘积，例如gh,hH），即gHg1H，则称H为G的一个不变子群（或正规子群）. gH和Hg分别称为G对H含元素g的左陪集和右陪集. 因此含同一元素的不变子群的左陪集和右陪集是重合的.

把陪集看作元素时，一切陪集构成一个群，称为G对H的商群，记作G/H. 拉格朗日定理 有限群G的子群的阶是群G的阶的一个因数. G的不变子群H的商群G/H的阶为G的阶被H的阶除所得的商. 交换群的一切子群都是不变子群.

若群G除自身外，无任何其他不变子群，则称G为单群.

[同构与自同构] 设两个群G1,G2，若使G1中任意两元a，b的乘积与G2中相应元的乘积对应，而且只与这个乘积对应，即

(ab)ab

具有这个性质的G1到G2上的一对一的对应，称为一个同构，又称G1与G2是同构的，记作G1G2. 群G到自身的同构称为自同构.

同构有以下性质： 1o在同构之下，一个群的单位元、逆元、子群分别对应到另一个群的单位元、逆元、子群.

2o同构是一个等价关系，即

(i) 反身性 G1G1；

(ii) 对称性 若G1G2，则G2G1；

(iii) 传递性 若G1G2，G2G3，则G1G3. 3o凯莱定理 任一群G都同构于它的元素集的某一变换群.

[同态与自同态] 有两个群G,G,与一个映射f：GG. 设xG,xG，若满足

|x2 (x1x2)x1则称f为一个同态. G为G的一个同态象，记作G~G. 群G到自身的同态称自同态. 同态有以下性质：

1o一对一的同态就是同构.

2o在同态之下，单位元映到单位元，逆元映到逆元.

3o假定f是群G到G的一个同态，则G中对应于G的单位元e的一切元素所成的集N是G的一个不变子群. N称为同态f的核，记作f1(e).

4o假定群G，G同态，则G中对应于G的任一固定元素的一切元素所成的集是G对同态核N的一个陪集.

5o同态基本定理 假定G，G同态，群G对N的陪集与G的元素之间的一一对应是G与商群G/N之间的一个同构. 它表明G的同态象G与对应的商群G/N同构.

三、 环

[环的定义与例子] 一个非空集R有加法和乘法两个二元运算，若满足下列三个条件，就称R为一个环：

（i）R是一个加法群；

（ii）对乘法满足结合律. 即对任何a,b,cR，有 a(bc)(ab)c

（iii）对加法和乘法满足左、右分配律. 即对任何a,b,cR，有 a(bc)abac,(bc)abaca 一个环若满足乘法的交换律abba，则称R为交换环. 例1 一切整数全体是一个环，称为整数环.

例2 设F是一个数域，则域F上的多项式的全体是一个环，记作F[x].

例3 如果数集R中任意两个数的和、差、积仍属于R，则R也是一个环，称为数环. 单个数零也是一个数环，称为零环，显然，数环总是交换环.

例4 若R是一个环，一切用R的元所成的n阶方阵在矩阵的加法与乘法之下，构成一个环，称为R上的n阶全方阵环，记作Rn. 当n1时，Rn为非交换环.

[环的基本性质] 因为环是一个加法群，所以它具有加法群的一切性质. 因此只介绍由乘法所表示的各种性质.

1o0aa00

2o(a)ba(b)ab,(a)(b)ab 3o对减法分配律成立，即

a(bc)abac,(bc)abaca

4o一般结合律成立，即

aaii1j1nmnjai

i1nm5o一般分配律成立，即

ababijii1j1i1j1nmnmj

6o对任意整数m，有

(ma)ba(mb)m(ab)

7o对正整数的指数定律成立，即

amanamn,(an)mamn 对交换环还有

anbn(ab)n

[零因子与单位元] 在环R中，若aR,b(0)R，使ab0(ba0)，则称a为R的左（右）零因子，记作aL(aR). 又称a为b的左（右）零化元. 一个元同时是左、右零因子，就称它为零因子. 若环中无零因子，就称它为无零因子环. n阶全方阵环就是无零因子环.

若环R中有元素eL(eR)，对任一aR，有eLaa(aeRa)，则称eL(eR)为R的左（右）单位元. 若eR同时是左、右单位元，即aeeaa，则称e为R的单位元. 这时称R为有单位元环. 例如整数环是单位元环，1就是它的单位元；n阶全方阵环Rn有单位元，就是单位矩阵I.

若R有单位元，则单位元是唯一的；若R有单位元e，并对aR有逆元a1，则a1是唯一的.

有单位元而无零因子的交换环称为整环. 例如整数环、数域都是整环. [子环与扩张环] 设S是环R的一个子集，若S对R的两个运算组成一个环，则称S为R的一个子环，称R为S的扩张环.

环本身可以看作是它的子环，零环也是它的子环. 异于本身与零环的子环称为真子环. 环R的子集S成为R的子环的充分必要条件是： (i) S为非空集；

(ii) 若a,bS，则abS； (iii) 若a,bS，则abS.

[理想与主理想] 设R是一个环，I是R的一个子集，若I中任意两个元素之差以及I中任意元素a与R中任意元素r的乘积ra和ar都属于I，则称I为R的一个理想. 例如偶数全体是整数环的一个理想. 每一个理想是已知环的子环，其逆不真.

一个环的任意多个理想的交集仍是这个环的理想. 特别，环中含有某一固定元素r的一切理想的交集仍是这个环的理想，即它是由一个元素r生成的理想，称为主理想，记作（r）.

四、 域

[域的定义与例子] 一个具有单位元的交换环R，若至少含有一个非零元，并且每个非零元a恒有逆a1，则称R为一个域.

例1 数域F（有理数域Q、实数域R、复数域C等）都是域.

例2 数域F上的一切有理分式f(x)/g(x) （f(x),g(x)F[x]且g(x)0）在有理分式的加法和乘法之下组成一个域，称为数域F上的有理分式域.

[域的基本性质] 1o域没有零因子.

2o若集F在两个二元运算（加法和乘法）下满足下列条件，则F为一个域：

(i) F是以零为单位元的加法群；

(ii) 由除零外的F的一切元组成的集在乘法下是一个交换群； (iii) 乘法对加法是可分配的，即a(bc)abac.

3o在域F中，方程axb（a,bF，且a0）有唯一的解，并可记作xb/a. 4o在域F中，成立指数定律：

amanamn,(am)namn,anbn(ab)n

式中m，n为任意整数，a，b为F中任意两个元素，只对非零元素才能有负整数的幂.

5o若把域F的单元e的n倍ne简记作n，则F中任一元a的n倍na就是n与a的积na.