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2019-2020学年人教版A版高中数学必修一:第二单元质量检测 Word版含解析

2023-07-31 来源:六九路网
阶段质量检测(二)

(A卷 学业水平达标) (时间120分钟,满分150分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题6分,共60分) 1.2

11+log252等于( )

B.25 D.1+

11+log252A.2+5 C.2+

5 2

=2×2

log25125 2=25.

解析:选B 2=2×2

log252.函数y=错误!的定义域为( ) 3A.4,1 C.(1,+∞)

解析:选A 由题意得错误! 3

解得4

3.函数y=2-|x|的单调递增区间是( ) A.(-∞,+∞) C.(0,+∞) 解析:选B 函数y=2y=2

-|x|

-|x|

3

,+∞ B.43D.4,1∪(1,+∞)

B.(-∞,0) D.不存在

1|x|x1x,函数递减.故=,当x<0时为y=2,函数递增;当x>0时为y=22

的单调递增区间为(-∞,0).

4.若0B.01

解析:选D 当b>1时,logb a<1=logb B. ∴a1成立.

当05.(福建高考)若函数y=loga x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )

解析:选B 因为函数y=logax过点(3,1),所以1=loga3, 解得a=3,所以y=3x不可能过点(1,3),排除A;

y=(-x)3=-x3不可能过点(1,1),排除C; y=log3(-x)不可能过点(-3,-1),排除D.故选B.

3x+1,x≤0,

6.已知函数f(x)=若f(x0)>3,则x0的取值范围是( )

log2x,x>0,

C.(0,8)

A.(8,+∞) B.(-∞,0)∪(8,+∞) D.(-∞,0)∪(0,8)

x0≤0,x0>0,解析:选A 依题意,得或 3x0+1>3log2x0>3,x0≤0,x0>0,

即或

x0+1>1log2x0>log28.

所以x0∈∅,或x0>8,故选A.

7.对于函数f(x)=lg x定义域内任意x1,x2(x1≠x2),有如下结论: ①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2); ②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2); ③错误!>0; x1+x2

④f2<错误!. 上述结论正确的是( ) A.②③④ C.②③

B.①②③ D.①③④

解析:选C 由对数的运算性质可得f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2)=f(x1x2),所以①错误,②正确; 因为f(x)是定义域内的增函数,所以③正确; x1+x2x1+x2f=lg,

22

错误!=错误!=lg错误!, 因为

x1+x2

>x1x2(x1≠x2), 2

x1+x2

所以lg>lgx1x2,

2

x1+x2即f2>错误!,所以④错误.

18.若当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1,则函数y=logax的图象大致为 ( )

1

解析:选B 由函数f(x)=a|x|满足0<|f(x)|≤1,得0<a<1,当x>0时,y=logax=-logax.又因为y1=logax为偶函数,图象关于y轴对称,所以选B.

9.若f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=ex,则有( ) A.f(2)解析:选D 用-x代x,则有f(-x)-g(-x)=ex,

即-f(x)-g(x)=ex,结合f(x)-g(x)=ex,

可得f(x)=

ex-e-xe-x+ex

,g(x)=-. 22

所以f(x)在R上为增函数,且f(0)=0,g(0)=-1,所以f(3)>f(2)>f(0)>g(0),故选D.

10.已知偶函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是( ) A.f(a+1)≥f(b+2) B.f(a+1)<f(b+2) C.f(a+1)≤f(b+2) D.f(a+1)>f(b+2)

解析:选D 因为函数f(x)=loga|x-b|为偶函数, 则f(-x)=f(x),

而f(-x)=loga|-x-b|=loga|x+b|,

所以loga|x-b|=loga|x+b|,即|x-b|=|x+b|, 所以b=0,故f(x)=loga|x|.

因为当x∈(-∞,0)时,f(x)=loga|x|=loga(-x), 其中y=-x为减函数,

而已知f(x)在(-∞,0)上单调递增, 所以0<a<1,故1<a+1<2, 而b+2=2,故1<a+1<b+2.

又因为偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以在(0,+∞)上单调递减,故f(a+1)>f(b+2),选D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

111.计算:lg4-lg 25÷1002=________. 1122lg-lg 25÷解析:100=lg÷100 4100

1111

=-2÷=-20.

10答案:-20

12.设f(x)=错误!则f(f(2))=________. 解析:∵f(2)=log3(22-1)=1, ∴f(f(2))=f(1)=2e11=2.

答案:2

13.下列说法中,正确的是________(填序号). ①任取x>0,均有3x>2x; ②当a>0,且a≠1时,有a3>a2; ③y=(3)-x是增函数; ④y=2|x|的最小值为1;

⑤在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称. 解析:对于②,当0<a<1时,a3<a2,故②不正确. 对于③,y=(3)x=

3x,因为0<3<1,故y=(3)-x是减函数,故③不正确.易知①④⑤正确.

33

答案:①④⑤

14.已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是______________.

解析:∵f(x)=e|x

-a|

=

ex-a,x≥a,

e-x+a,x<a,

∴f(x)在[a,+∞)上为增函数,则[1,+∞)⊆[a,+∞), ∴a≤1. 答案:(-∞,1]

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(10分)计算:

2

(1)lg 52+lg 8+lg 5lg 20+(lg 2)2;

3(2)3-27+16-2×(8

12163423-1

)+2×(4

5

25-1

).

解:(1)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(1+lg 2)+(lg 2)2 =2(lg 2+lg 5)+lg 5+lg 2×lg 5+(lg 2)2 =2+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=3.

(2)原式=3-(33)+(24)-2×(23)+2×(22) =3-3+23-2×22+2×2

12121512163423152545=8-8+2

1455=2.

16.(12分)已知函数f(x)=4x-2·2x+1-6,其中x∈[0,3]. (1)求函数f(x)的最大值和最小值;

(2)若实数a满足f(x)-a≥0恒成立,求a的取值范围. 解:(1)f(x)=(2x)2-4·2x-6(0≤x≤3). 令t=2x,∵0≤x≤3,∴1≤t≤8. 则h(t)=t2-4t-6=(t-2)2-10(1≤t≤8).

当t∈[1,2]时,h(t)是减函数;当t∈(2,8]时,h(t)是增函数. ∴f(x)min=h(2)=-10,f(x)max=h(8)=26. (2)∵f(x)-a≥0恒成立,即a≤f(x)恒成立, ∴a≤f(x)min恒成立.

由(1)知f(x)min=-10,∴a≤-10. 故a的取值范围为(-∞,-10].

17.(12分)若函数f(x)=(1)求a的值; (2)求函数的定义域; (3)求函数的值域. 解:函数y=f(x)=

a·3x-1-a1

=a-.

3x-13x-1

111

-=0,∴a=-. 23x-13-x-1

a·3x-1-a

为奇函数.

3x-1

(1)由奇函数的定义,可得f(-x)+f(x)=0,即2a-11

(2)∵y=--,∴3x-1≠0,即x≠0.

23x-111

∴函数y=--的定义域为{x|x≠0}.

23x-1

(3)∵x≠0,∴3x -1≠0,∴0>3x-1>-1或3x-1>0. 111111∴-->或--<-.

23x-1223x-1211

即函数的值域为y|y>2或y<-2.

18.(12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=log1 (-x+1).

2(1)求f(0),f(1); (2)求函数f(x)的解析式;

(3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围. 解:(1)因为当x≤0时,f(x)=log1(-x+1),

2所以f(0)=0.

又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,

所以f(1)=f(-1)=log1[-(-1)+1]=log12=-1,

22即f(1)=-1.

(2)令x>0,则-x<0,

从而f(-x)=log1(x+1)=f(x),

2∴x>0时,f(x)=log1(x+1).

2∴函数f(x)的解析式为f(x)=

(3)设x1,x2是任意两个值,且x1-x2≥0, ∴1-x1>1-x2>0.

∵f(x2)-f(x1)=log1(-x2+1)-log1(-x1+1)=log12221-x21

>log1=0,

21-x1

∴f(x2)>f(x1),

∴f(x)=log1(-x+1)在(-∞,0]上为增函数.

2又∵f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. ∵f(a-1)<-1=f(1), ∴|a-1|>1,解得a>2或a<0.

故实数a的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞). 19.(12分)已知函数f(x)=a-

2

(a∈R). 2x+1

(1) 判断函数f(x)的单调性并给出证明; (2) 若存在实数a使函数f(x)是奇函数,求a;

m

(3)对于(2)中的a,若f(x)≥,当x∈[2,3]时恒成立,求m的最大值.

2x解:(1)不论a为何实数,f(x)在定义域上单调递增. 证明:设x1,x2∈R,且x122

则f(x1)-f(x2)=a-2x1+1-a-2x2+1=错误!.



由x1所以2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,f(x1)所以由定义可知,不论a为何数,f(x)在定义域上单调递增. (2)由f(0)=a-1=0得a=1,经验证,当a=1时,f(x)是奇函数. 2

(3)由条件可得: m≤2x1-2x+1=(2x+1)+



22-3恒成立.m≤(2x+1)+-3的最小值,x∈2x+12x+1

[2,3].

2

设t=2x+1,则t∈[5,9],函数g(t)=t+-3在[5,9]上单调递增,

t所以g(t)的最小值是g(5)=

12, 5

1212

所以m≤,即m的最大值是. 5520.(12分)已知函数f(x)=a-(1)求f(0);

(2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论;

(3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax)解:(1)f(0)=a-=a-1.

20+1(2)∵f(x)的定义域为R, ∴任取x1,x2∈R,且x1∵y=2x在R上单调递增,且x1∴2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,

即f(x1)22

即a-=-a+,解得a=1.

2-x+12x+1[或用f(0)=0求解] ∴f(ax)22

-a+ 2x1+12x2+1

2

. 2x+1

(B卷 能力素养提升) (时间120分钟,满分150分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题6分,共60分) 1.幂函数的图象过点(3,9),则它的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,1) C.(0,+∞)

B.(-∞,0) D.(-∞,+∞)

解析:选C 由f(x)=xα过点(3,9),知3α=9,∴α=2,即f(x)=x2,知C正确. 2.设f(x)=错误!则f(f(2))的值为( ) A.2e C.2

B.2e2 2D. e2

-1-1

解析:选D ∵f(2)=log3错误!=log3错误!=-1,∴f(f(2))=f(-1)=2e3.函数f(x)=错误!的定义域是( ) 1

-,1 A.311-, C.331

-,+∞ B.31-∞,- D.3

=错误!.

3x+1>0,11

-,1. 解析:选A 要使f(x)有意义,需解得-0,

4.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-(x-1)在同一直角坐标系下的图象大致是( )

解析:选C 由图象可判断C正确.

4x1+x2

5.幂函数f(x)=x,若052x1+x2

A.f 2>错误!

x1+x2B.f 2<错误! x1+x2C.f 2=错误! D.无法确定

4

解析:选A 易知f(x)=x的定义域为R,且是偶函数,在(0,

5此作出f(x)的图象如图所示,则点C的纵坐标为错误!,点D的纵坐由图可知错误!6.已知log7[log3(log2x)]=0,那么x1A. 3C.2 4

12+∞)上单增,据x1+x2标为f2,

等于( ) 3

63 3

12B.D.

解析:选C 由条件知,log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=8,∴x7.a=log0.7 0.8,b=log1.1 0.9,c=1.10.9的大小关系是( ) A.c>a>b C.b>c>a

B.a>b>c D.c>b>a

=

2. 4

解析:选A a=log0.70.8∈(0,1),b=log1.10.9∈(-∞,0),c=1.10.9∈(1,+∞),故c>a>b. 8.设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上是增函数,则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是( ) A.f(a+1)=f(b+2) C.f(a+1)B.f(a+1)>f(b+2) D.不能确定

解析:选B 由f(x)为偶函数,∴b=0.又f(x)=loga|x|在(-∞,0)上为增函数,∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.

∴0f(b+2). 9.函数f(x)=2

log2x的图象大致是( )

x,x≥1,logx解析:选C ∵f(x)=22=1

,010.已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是( ) A.[160,+∞) B.(-∞,40]

C.(-∞,40]∪[160,+∞) D.(-∞,20]∪[80,+∞)

kk解析:选C 据题意可知≤5或≥20,解得k≤40或k≥160.

88二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 11.当x∈[-2,0]时,函数y=3x+1-2的值域是________. 解析:∵x∈[-2,0]时y=3x1-2为增函数,

得3

-2+1

5+

-2≤y≤301-2,即-≤y≤1.

3

5

-,1 答案:3

12.若指数函数f(x)与幂函数g(x)的图象相交于一点(2,4),则f(x)=________,g(x)=________. 解析:设f(x)=ax,g(x)=xα,代入(2,4), ∴f(x)=2x,g(x)=x2. 答案:2x x2

1x

13.已知函数f(x)满足:当x≥4时,f(x)=2;当x<4时,f(x)=f(x+1),则f(2+log23)等于________. 1解析:∵14,故f(3+log23)=2

3+log23=2

-3-log23=2×2

-3

-log23log211111

=×23=×=.即f(2+log23)=. 8832424

11答案:

24

14.已知函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,令h(x)=f(1-|x|),则关于函数h(x)有下列命题:

h(x)的图象关于原点(0,0)对称;

h(x)的图象关于y轴对称;

h(x)的最小值为0;

h(x)在区间(-1,0)上单调递增.

其中正确的是________.(把正确命题的序号都填上)

解析:∵f(x)的图象与g(x)=2x的图象关于y=x对称,∴两者互为反函数,f(x)=log2x(x>0),∴h(x)=f(1-|x|)=log2(1-|x|).又h(-x)=h(x),∴h(x)=log2(1-|x|)为偶函数,故h(x)的图象关于y轴对称,∴①②正确.∵当1-|x|的值趋近于0时,h(x)的函数值趋近于-∞,∴h(x)的最小值不是0,∴③不正确.设-11-|x1|,又∵y=log2x是单调增函数,∴log2(1-|x2|)>log2(1-|x1|),∴h(x2)>h(x1),∴h(x)在区间(-1,0)上单调递增,∴④正确.

答案:②④

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(10分)不用计算器计算: (1)log327+lg 25+lg 4+7

2log72+(-9.8)0;

273490.523(2)-+(0.008)×. 8925

23313

解:(1)原式=log3 3+lg(25×4)+2+1=+lg 102+3=+2+3=. 222834921 00032472171

(2)原式=-+×=-+25×=-+2=. 27982593259916.(12分)已知函数f(x)=x

-k2+k+232212(k∈N)满足f(2)(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式;

(2)对于(1)中得到的函数f(x),试判断是否存在q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[17

-4,?若存在,求出q; 若不存在,请说明理由. 1,2]上的值域为8

3-k2+k+22

解:(1)∵f(2)1,即-k+k+2>0,解得-1∴f(x)=x2.

(2)假设存在q>0满足题设. 由(1)知,g(x)=-qx2+(2q-1)x+1.

4q2+12q-14q2+1∵g(2)=-1,∴两个最值点只能在端点(-1,g(-1))和顶点处取到,而-g(-,4q4q2q1)=

4q2+1

-(2-3q)=错误!≥0, 4q

4q2+117∴g(x)max==,g(x)min=g(-1)=2-3q=-4,解得q=2.经检验q=2符合题意.

4q817.(12分)已知函数f(x)=(log1x)2-log1x+5,x∈[2,4],求f(x)的最大值及最小值.

44-

解:令t=log1x.∵x∈[2,4],t=log1x在定义域内递减,∴log144444411119-1,-,∴f(t)=t2-t+5=t-2+,t∈-1,-, ∴t∈2224123∴当t=-时,f(x)取最小值,

24当t=-1时,f(x)取最大值7.

18.(12分)已知f(x)=logax(a>0且a≠1),如果对于任意的x都有|f(x)|≤1成立,试求a的取值范围.

解:∵f(x)=logax,

1,2

3

1-|f(2)|=loga1+loga2=loga2>0, 当01-|f(2)|=-loga1-loga2=-loga2>0,∴f1>|f(2)|总成立. 当a>1时,f3333

则y=|f(x)|的图象如图所示.

1

要使x∈3,2时恒有|f(x)|≤1,

1≤1,即-1≤loga1≤1,即logaa-1≤loga1≤logaa, 只需f333

1-

即当a>1时,得a1≤≤a,即a≥3;

311-

当00,∪[3,+∞). 综上所述,a的取值范围是319.(12分)已知函数f(x)=ax2-1(a>0且a≠1). (1)若函数y=f(x)的图象经过点P(3,4),求a的值; (2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;

1lg (3)比较f100与f(-2.1)的大小,并写出必要的理由. 解:(1)∵f(3)=a2=4,∴a=2.

(2)f(x)的定义域为R,且f(-x)=a(-x)2-1=ax2-1=f(x),∴f(x)为偶函数. 1

lg=f(-2), (3)∵f100

①当a>1时,f(x)在(-∞,0)上单调递减, 1

lglg>f(-2.1). ∴f100120.(12分)已知函数f(x)=ax-a+1,(a>0且a≠1)恒过定点2,2. (1)求实数a;

1

x+-1,求函数g(x)的解析式; (2)若函数g(x)=f2

(3)在(2)的条件下,若函数F(x)=g(2x)-mg(x-1),求F(x)在[-1,0]上的最小值h(m). 解:(1)由已知a

1-a21

+1=2,∴a=.

2

11x+111x22x+(2)g(x)=f2-1=2-1+1=2.

12x1x-1=12x-2m1x.∴令t=1x,t∈[1,2]. (3)∵F(x)=-m22222∴y=t2-2mt=(t-m)2-m2.

①当m≤1时,y=t2-2mt在[1,2]上单调递增, ∴t=1时,ymin=1-2m;

②当1综上所述:h(m)=-m2,14-4m,m≥2.

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