(A卷 学业水平达标) (时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题6分,共60分) 1.2
11+log252等于( )
B.25 D.1+
11+log252A.2+5 C.2+
5 2
=2×2
log25125 2=25.
解析:选B 2=2×2
log252.函数y=错误!的定义域为( ) 3A.4,1 C.(1,+∞)
解析:选A 由题意得错误! 3
解得 3.函数y=2-|x|的单调递增区间是( ) A.(-∞,+∞) C.(0,+∞) 解析:选B 函数y=2y=2 -|x| -|x| 3 ,+∞ B.43D.4,1∪(1,+∞) B.(-∞,0) D.不存在 1|x|x1x,函数递减.故=,当x<0时为y=2,函数递增;当x>0时为y=22 的单调递增区间为(-∞,0). 4.若0B.01 解析:选D 当b>1时,logb a<1=logb B. ∴a1成立. 当05.(福建高考)若函数y=loga x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( ) 解析:选B 因为函数y=logax过点(3,1),所以1=loga3, 解得a=3,所以y=3x不可能过点(1,3),排除A; - y=(-x)3=-x3不可能过点(1,1),排除C; y=log3(-x)不可能过点(-3,-1),排除D.故选B. 3x+1,x≤0, 6.已知函数f(x)=若f(x0)>3,则x0的取值范围是( ) log2x,x>0, C.(0,8) A.(8,+∞) B.(-∞,0)∪(8,+∞) D.(-∞,0)∪(0,8) x0≤0,x0>0,解析:选A 依题意,得或 3x0+1>3log2x0>3,x0≤0,x0>0, 即或 x0+1>1log2x0>log28. 所以x0∈∅,或x0>8,故选A. 7.对于函数f(x)=lg x定义域内任意x1,x2(x1≠x2),有如下结论: ①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2); ②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2); ③错误!>0; x1+x2 ④f2<错误!. 上述结论正确的是( ) A.②③④ C.②③ B.①②③ D.①③④ 解析:选C 由对数的运算性质可得f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2)=f(x1x2),所以①错误,②正确; 因为f(x)是定义域内的增函数,所以③正确; x1+x2x1+x2f=lg, 22 错误!=错误!=lg错误!, 因为 x1+x2 >x1x2(x1≠x2), 2 x1+x2 所以lg>lgx1x2, 2 x1+x2即f2>错误!,所以④错误. 18.若当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1,则函数y=logax的图象大致为 ( ) 1 解析:选B 由函数f(x)=a|x|满足0<|f(x)|≤1,得0<a<1,当x>0时,y=logax=-logax.又因为y1=logax为偶函数,图象关于y轴对称,所以选B. 9.若f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=ex,则有( ) A.f(2) - 即-f(x)-g(x)=ex,结合f(x)-g(x)=ex, - 可得f(x)= ex-e-xe-x+ex ,g(x)=-. 22 所以f(x)在R上为增函数,且f(0)=0,g(0)=-1,所以f(3)>f(2)>f(0)>g(0),故选D. 10.已知偶函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是( ) A.f(a+1)≥f(b+2) B.f(a+1)<f(b+2) C.f(a+1)≤f(b+2) D.f(a+1)>f(b+2) 解析:选D 因为函数f(x)=loga|x-b|为偶函数, 则f(-x)=f(x), 而f(-x)=loga|-x-b|=loga|x+b|, 所以loga|x-b|=loga|x+b|,即|x-b|=|x+b|, 所以b=0,故f(x)=loga|x|. 因为当x∈(-∞,0)时,f(x)=loga|x|=loga(-x), 其中y=-x为减函数, 而已知f(x)在(-∞,0)上单调递增, 所以0<a<1,故1<a+1<2, 而b+2=2,故1<a+1<b+2. 又因为偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以在(0,+∞)上单调递减,故f(a+1)>f(b+2),选D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 111.计算:lg4-lg 25÷1002=________. 1122lg-lg 25÷解析:100=lg÷100 4100 1111 =-2÷=-20. 10答案:-20 12.设f(x)=错误!则f(f(2))=________. 解析:∵f(2)=log3(22-1)=1, ∴f(f(2))=f(1)=2e11=2. - 答案:2 13.下列说法中,正确的是________(填序号). ①任取x>0,均有3x>2x; ②当a>0,且a≠1时,有a3>a2; ③y=(3)-x是增函数; ④y=2|x|的最小值为1; ⑤在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称. 解析:对于②,当0<a<1时,a3<a2,故②不正确. 对于③,y=(3)x= - 3x,因为0<3<1,故y=(3)-x是减函数,故③不正确.易知①④⑤正确. 33 答案:①④⑤ 14.已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是______________. 解析:∵f(x)=e|x -a| = ex-a,x≥a, e-x+a,x<a, ∴f(x)在[a,+∞)上为增函数,则[1,+∞)⊆[a,+∞), ∴a≤1. 答案:(-∞,1] 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(10分)计算: 2 (1)lg 52+lg 8+lg 5lg 20+(lg 2)2; 3(2)3-27+16-2×(8 12163423-1 )+2×(4 5 25-1 ). 解:(1)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(1+lg 2)+(lg 2)2 =2(lg 2+lg 5)+lg 5+lg 2×lg 5+(lg 2)2 =2+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=3. (2)原式=3-(33)+(24)-2×(23)+2×(22) =3-3+23-2×22+2×2 12121512163423152545=8-8+2 1455=2. 16.(12分)已知函数f(x)=4x-2·2x+1-6,其中x∈[0,3]. (1)求函数f(x)的最大值和最小值; (2)若实数a满足f(x)-a≥0恒成立,求a的取值范围. 解:(1)f(x)=(2x)2-4·2x-6(0≤x≤3). 令t=2x,∵0≤x≤3,∴1≤t≤8. 则h(t)=t2-4t-6=(t-2)2-10(1≤t≤8). 当t∈[1,2]时,h(t)是减函数;当t∈(2,8]时,h(t)是增函数. ∴f(x)min=h(2)=-10,f(x)max=h(8)=26. (2)∵f(x)-a≥0恒成立,即a≤f(x)恒成立, ∴a≤f(x)min恒成立. 由(1)知f(x)min=-10,∴a≤-10. 故a的取值范围为(-∞,-10]. 17.(12分)若函数f(x)=(1)求a的值; (2)求函数的定义域; (3)求函数的值域. 解:函数y=f(x)= a·3x-1-a1 =a-. 3x-13x-1 111 -=0,∴a=-. 23x-13-x-1 a·3x-1-a 为奇函数. 3x-1 (1)由奇函数的定义,可得f(-x)+f(x)=0,即2a-11 (2)∵y=--,∴3x-1≠0,即x≠0. 23x-111 ∴函数y=--的定义域为{x|x≠0}. 23x-1 (3)∵x≠0,∴3x -1≠0,∴0>3x-1>-1或3x-1>0. 111111∴-->或--<-. 23x-1223x-1211 即函数的值域为y|y>2或y<-2. 18.(12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=log1 (-x+1). 2(1)求f(0),f(1); (2)求函数f(x)的解析式; (3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围. 解:(1)因为当x≤0时,f(x)=log1(-x+1), 2所以f(0)=0. 又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(1)=f(-1)=log1[-(-1)+1]=log12=-1, 22即f(1)=-1. (2)令x>0,则-x<0, 从而f(-x)=log1(x+1)=f(x), 2∴x>0时,f(x)=log1(x+1). 2∴函数f(x)的解析式为f(x)= (3)设x1,x2是任意两个值,且x1 ∵f(x2)-f(x1)=log1(-x2+1)-log1(-x1+1)=log12221-x21 >log1=0, 21-x1 ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)=log1(-x+1)在(-∞,0]上为增函数. 2又∵f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. ∵f(a-1)<-1=f(1), ∴|a-1|>1,解得a>2或a<0. 故实数a的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞). 19.(12分)已知函数f(x)=a- 2 (a∈R). 2x+1 (1) 判断函数f(x)的单调性并给出证明; (2) 若存在实数a使函数f(x)是奇函数,求a; m (3)对于(2)中的a,若f(x)≥,当x∈[2,3]时恒成立,求m的最大值. 2x解:(1)不论a为何实数,f(x)在定义域上单调递增. 证明:设x1,x2∈R,且x1 则f(x1)-f(x2)=a-2x1+1-a-2x2+1=错误!. 由x1 (3)由条件可得: m≤2x1-2x+1=(2x+1)+ 22-3恒成立.m≤(2x+1)+-3的最小值,x∈2x+12x+1 [2,3]. 2 设t=2x+1,则t∈[5,9],函数g(t)=t+-3在[5,9]上单调递增, t所以g(t)的最小值是g(5)= 12, 5 1212 所以m≤,即m的最大值是. 5520.(12分)已知函数f(x)=a-(1)求f(0); (2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论; (3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax) 20+1(2)∵f(x)的定义域为R, ∴任取x1,x2∈R,且x1 即f(x1) 即a-=-a+,解得a=1. 2-x+12x+1[或用f(0)=0求解] ∴f(ax) -a+ 2x1+12x2+1 2 . 2x+1 (B卷 能力素养提升) (时间120分钟,满分150分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题6分,共60分) 1.幂函数的图象过点(3,9),则它的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,1) C.(0,+∞) B.(-∞,0) D.(-∞,+∞) 解析:选C 由f(x)=xα过点(3,9),知3α=9,∴α=2,即f(x)=x2,知C正确. 2.设f(x)=错误!则f(f(2))的值为( ) A.2e C.2 B.2e2 2D. e2 -1-1 解析:选D ∵f(2)=log3错误!=log3错误!=-1,∴f(f(2))=f(-1)=2e3.函数f(x)=错误!的定义域是( ) 1 -,1 A.311-, C.331 -,+∞ B.31-∞,- D.3 =错误!. 3x+1>0,11 -,1. 解析:选A 要使f(x)有意义,需解得- 4.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-(x-1)在同一直角坐标系下的图象大致是( ) 解析:选C 由图象可判断C正确. 4x1+x2 5.幂函数f(x)=x,若0 A.f 2>错误! x1+x2B.f 2<错误! x1+x2C.f 2=错误! D.无法确定 4 解析:选A 易知f(x)=x的定义域为R,且是偶函数,在(0, 5此作出f(x)的图象如图所示,则点C的纵坐标为错误!,点D的纵坐由图可知错误! 12+∞)上单增,据x1+x2标为f2, 等于( ) 3 63 3 12B.D. 解析:选C 由条件知,log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=8,∴x7.a=log0.7 0.8,b=log1.1 0.9,c=1.10.9的大小关系是( ) A.c>a>b C.b>c>a B.a>b>c D.c>b>a = 2. 4 解析:选A a=log0.70.8∈(0,1),b=log1.10.9∈(-∞,0),c=1.10.9∈(1,+∞),故c>a>b. 8.设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上是增函数,则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是( ) A.f(a+1)=f(b+2) C.f(a+1) 解析:选B 由f(x)为偶函数,∴b=0.又f(x)=loga|x|在(-∞,0)上为增函数,∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. ∴0f(b+2). 9.函数f(x)=2 log2x的图象大致是( ) x,x≥1,logx解析:选C ∵f(x)=22=1 ,0 C.(-∞,40]∪[160,+∞) D.(-∞,20]∪[80,+∞) kk解析:选C 据题意可知≤5或≥20,解得k≤40或k≥160. 88二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 11.当x∈[-2,0]时,函数y=3x+1-2的值域是________. 解析:∵x∈[-2,0]时y=3x1-2为增函数, + 得3 -2+1 5+ -2≤y≤301-2,即-≤y≤1. 3 5 -,1 答案:3 12.若指数函数f(x)与幂函数g(x)的图象相交于一点(2,4),则f(x)=________,g(x)=________. 解析:设f(x)=ax,g(x)=xα,代入(2,4), ∴f(x)=2x,g(x)=x2. 答案:2x x2 1x 13.已知函数f(x)满足:当x≥4时,f(x)=2;当x<4时,f(x)=f(x+1),则f(2+log23)等于________. 1解析:∵1 3+log23=2 -3-log23=2×2 -3 -log23log211111 =×23=×=.即f(2+log23)=. 8832424 11答案: 24 14.已知函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,令h(x)=f(1-|x|),则关于函数h(x)有下列命题: ① h(x)的图象关于原点(0,0)对称; ② h(x)的图象关于y轴对称; ③ h(x)的最小值为0; ④ h(x)在区间(-1,0)上单调递增. 其中正确的是________.(把正确命题的序号都填上) 解析:∵f(x)的图象与g(x)=2x的图象关于y=x对称,∴两者互为反函数,f(x)=log2x(x>0),∴h(x)=f(1-|x|)=log2(1-|x|).又h(-x)=h(x),∴h(x)=log2(1-|x|)为偶函数,故h(x)的图象关于y轴对称,∴①②正确.∵当1-|x|的值趋近于0时,h(x)的函数值趋近于-∞,∴h(x)的最小值不是0,∴③不正确.设-1 答案:②④ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(10分)不用计算器计算: (1)log327+lg 25+lg 4+7 2log72+(-9.8)0; 273490.523(2)-+(0.008)×. 8925 23313 解:(1)原式=log3 3+lg(25×4)+2+1=+lg 102+3=+2+3=. 222834921 00032472171 (2)原式=-+×=-+25×=-+2=. 27982593259916.(12分)已知函数f(x)=x -k2+k+232212(k∈N)满足f(2) (2)对于(1)中得到的函数f(x),试判断是否存在q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[17 -4,?若存在,求出q; 若不存在,请说明理由. 1,2]上的值域为8 3-k2+k+22 解:(1)∵f(2) (2)假设存在q>0满足题设. 由(1)知,g(x)=-qx2+(2q-1)x+1. 4q2+12q-14q2+1∵g(2)=-1,∴两个最值点只能在端点(-1,g(-1))和顶点处取到,而-g(-,4q4q2q1)= 4q2+1 -(2-3q)=错误!≥0, 4q 4q2+117∴g(x)max==,g(x)min=g(-1)=2-3q=-4,解得q=2.经检验q=2符合题意. 4q817.(12分)已知函数f(x)=(log1x)2-log1x+5,x∈[2,4],求f(x)的最大值及最小值. 44- 解:令t=log1x.∵x∈[2,4],t=log1x在定义域内递减,∴log14 24当t=-1时,f(x)取最大值7. 18.(12分)已知f(x)=logax(a>0且a≠1),如果对于任意的x都有|f(x)|≤1成立,试求a的取值范围. 解:∵f(x)=logax, ∈ 1,2 3 1-|f(2)|=loga1+loga2=loga2>0, 当01-|f(2)|=-loga1-loga2=-loga2>0,∴f1>|f(2)|总成立. 当a>1时,f3333 则y=|f(x)|的图象如图所示. 1 要使x∈3,2时恒有|f(x)|≤1, 1≤1,即-1≤loga1≤1,即logaa-1≤loga1≤logaa, 只需f333 1- 即当a>1时,得a1≤≤a,即a≥3; 311-