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知识讲解_《集合》全章复习与巩固

2021-12-27 来源:六九路网
 《集合》全章复习巩固

【学习目标】

1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;

2.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;

4.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一:集合的基本概念 1.集合的概念

一般地,我们把研究对象统称为元素,如1~10内的所有质数,包括2,3,5,7,则3是我们所要研究的对象,它是其中的一个元素,把一些元素组成的总体叫做集合,如上述2,3,5,7就组成了一个集合。

2.元素与集合的关系 (1)属于: 如果a是集合A的元素,就说a A,记作a A。要注意“∈”的方向,不能把a∈A颠倒过来写. (2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a 集合A,记作aA。 3.集合中元素的特征 (1)确定性:集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素; (2)互异性:集合中的任意两个元素都是不同的,也就是同一个元素在集合中不能重复出现。 (3)无序性:集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1,2,3}与{3,1,2}是同一个集合。 4.集合的分类

集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类: 有限集:含有有限个元素的集合。 无限集:含有无限个元素的集合。

要点诠释:

把不含有任何元素的集合叫做空集,记作 ,空集归入有限集。 要点二:集合间的关系

1.(1)子集:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作AB,对于任何集合A规定A。

(2) 如果A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记做

.

两个集合A与B之间的关系如下:

其中记号AB(或BA)表示集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)。 2.子集具有以下性质:

(1)AA,即任何一个集合都是它本身的子集。 (2)如果AB,BA,那么A=B。 (3)如果AB,BC,那么AC。

3.包含的定义也可以表述成:如果由任一x∈A,可以推出x∈B,那么AB(或BA)。 不包含的定义也可以表述成:两个集合A与B,如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素,那么AB(或BA)。

4.有限集合的子集个数:

(1)n个元素的集合有 个子集。 (2)n个元素的集合有 个真子集。 (3)n个元素的集合有 个非空子集。 (4)n个元素的集合有 个非空真子集。 要点诠释:

空集是任何集合的 ,是任何非空集合的 .换言之,任何集合至少有一个子集. 要点三:集合的基本运算

1.用定义求两个集合的交集与并集时,要注意“或”“且”的意义,“或”是两个皆可的意思,“且”是两者都有的意思,在使用时不要混淆。

2.用维恩图表示交集与并集。

已知集合A与B,用阴影部分表示A∩B,A∪B,如下图所示。

3.关于交集、并集的有关性质及结论归结如下: (1)A∩A=A,A∩=,A∩B=(B∩A)A(或B); A∪A=A,A∪=A,A∪B=(B∪A)A(或B)。 (2)ACUA,ACUAU

(3)德摩根定律:(CUA)(CUB)CU(AB),(CUA)(CUB)CU(AB)

(4)ABAAB;ABABA。 4.全集与补集 (1)它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合,则称之为全集。而补集则是在AU时,由所有不属于A但属于U的元素组成的集合,记作CUA。数学表达式:若AU,则U中子集A的补集为CUA{xxU且xA}

(2)补集与全集的性质 ①CU(CUA)A ②AU,CUAU ③CUU,CUU。 5.空集的性质

空集的特殊属性,即空集虽空,但空有所用。对任意集合A,有,{};A;

AA;A。

【典型例题】

类型一:集合的含义与表示

例1.选择恰当的方法表示下列集合。 (1)“mathematics”中字母构成的集合; (2)不等式x10的解集; (3)函数y2x4的自变量的取值范围。

【思路点拨】集合的表示有两种形式,我们必须了解每种方法的特点,选择最佳的表达形式。 【解析】(1)m,a,t,h,e,i,c,s; (2)x|x10或 (3)x|y2x4或x|x0

【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法表示集合,关键是确定集合中的元素。然后根据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。

举一反三:

xy5【变式1】将集合(x,y)|表示成列举法,正确的是( )

2xy1A.{2,3} B.{(2,3)} C.{x=2,y=3} D.(2,3)

【答案】B

【变式2】已知集合Ax,y ∣x,y为实数,且x2y21,Bx,yx,y为实数,

且yx,则AB的元素个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】C

例2.若含有三个元素的集合可表示为a,b,1,也可以表示为a2,ab,0,求a2009b2009的a值。

【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。 【答案】1 【解析】 由a,b,1,可得a1且a0, a2a1,ab1,2a1,a1,则有aab,或aa,解得或(舍去)

b0.b0.bb00aa故a2009b20091

【总结升华】利用集合中元素特性来解题,既要用元素的确定性,又要利用互异性检验解的正确与否,

初学者在解题时容易忽视元素的互异性。必须在学习中高度重视。另外,本类问题往往涉及分类讨论的数学思想。

举一反三:

【变式1】若3a3,2a1,a1。求实数a的值。 【答案】2 【解析】

由3a3,2a1,a122,可知a33或2a13或a13,且

2a32a1a21。

(1)若a33,则a0,此时2a1a11,

2与集合中元素的互异性相矛盾,故a0舍去。

(2)若2a13,则a2,此时a35,a15符合集合的特性。 (3)若a13,则方程a4无解。 综上可得a的值为2。

例3.已知集合Ax|mx22x30,mR (1)若A是空集,求m的取值范围。 (2)若A中只有一个元素,求m的值。

(3)若A中至多只有一个元素,求m的取值范围。 【答案】(1)m【解析】

(1)当m0时,x222111 (2)0, (3)m或者m=0

3333,A不为空集,则m0不满足题意。 22当m≠0时,若A为空集,则一元二次方程mx2x30实数范围内无解,

1。 31综上若A为空集,则m。

3即412m0,m(2)由集合A中只含有一个元素可得,方程mx2x30有一解,由于本方程并没有注明是一个二次方程,故也可以是一次方程,应分类讨论:

当m0时,可得是一次方程,故满足题意.

当m≠0时,则为一元二次方程,所以有一根的含义是该方程有两个相等的实根,即判别式为0时

2m的值,可求得为m11.故m的取值为0,.

33(3)∵A中元素至多只有一个 ,∴有以下两种情况存在:

集合A是空集;集合A是只有一个元素. 综合(1)(2)知,若A中元素至多只有一个, m1或者m=0. 3【总结升华】 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集,所以本题实际上是讨论方程mx2-2x+3=0解的个数问题。

类型二:集合的基本关系

例4.设集合A={x|1≤x≤3},B={x|x-a≥0},若A真包含于B,则a的取值范围是________。

【思路点拨】 此题考查判断两个集合的包含关系。由于题中所给集合为含不等式的描述法形式,可以借助数轴进行直观的分析。

【解析】AB={x|x≥a},利用数轴作图如下:

由此可知:a≤1。

【总结升华】 要确定一个集合的方法之一是:明确集合中元素的范围及其满足的性质,借助Venn图来分析,直观性强。集合是由元素构成的,要确定一个集合的方法之二是:把集合中的元素一一找出来,用列举法表示。要确定一个集合的方法之三是:明确集合中元素的范围及其满足的性质。用特征性质描述法表示的集合,可借助数轴来分析,直观性强。

举一反三:

【变式1】 已知集合A={x|x≥1或x<-1},B={x|2a<x<a+1},若BA,求a的取值范围。 【解析】

(1)当B是空集,需要2a≥a+1,得到a≥1

(2)当B不是空集且B的上限小于等于-1,即a<1且a+1≤-1,得到a≤-2 (3)当B不是空集且B的下限大于等于1,即a<1且2a≥1,得到1/2≤a<1 综上,a≤-2或a≥1/2

【变式2】若集合B={1,2,3,4,5},C={小于10的正奇数},且集合A满足AB,AC,则集合A的个数是________。

【思路点拨】 由题设,C={1,3,5,7,9}。因为AB,AC,可用Venn图发现集合B与C的公共元素为1,3,5,则集合A可能含有1,3,5三个数中的0个,1个,2个,或3个。故集合A的个数即为{1,3,5}的子集的个数。

【解析】由已知作Venn图

{1,3,5}的子集中含0个元素的有1个:;

{1,3,5}的子集中含1个元素的有3个:{1},{3},{5};

{1,3,5}的子集中含2个元素的有3个:{1,3},{1,5},{3,5}; {1,3,5}的子集中含3个元素的有1个:{1,3,5}。

由上述分析知集合A的个数为{1,3,5}的子集的个数:1+3+3+1=8个。

例5.设集合Ax|x24x0,xR,Bx|x22(a1)xa210,xR,若BA,求实数a的范围。

【答案】a1或a1 【解析】

Ax|x24x0,xR4,0

BA,BA或BA

22当BA时,即B4,0,则4,0是方程x2(a1)xa10的两根,代入解得a1

当BA时,分两种情况:

22(1)若B,则4(a1)4(a1)0,解得a1。 (2)若B,则方程x2(a1)xa10有两个相等的实数根。

224(a1)24(a21)0,解得a1,此时B0,满足条件。

综上可知,所求实数a的范围为a1或a1。

【总结升华】要解决此题,应明确BA的具体含义:一是BA,二是BA。BA时还应考虑B能否是的情况,因此解题过程中必须分类讨论,另外还要熟练掌握一元二次方程根的讨论问题。

举一反三:

【变式】(2014 湖南张家界期末)已知集合Axx23x20,Bxax10. (1)若a2,求A【答案】C

(2)若BA,求实数a的取值所组成的集合C. B ;

【解析】(1)由题意,A1,2

121 AB,1,2

2 (2)由题意,BA

∴ 当B时,a0

1 当B时,a1,

21 C0,1,

2 当a2时,B

类型三:集合的基本运算 例6.已知全集U=R,集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如下图所示,则阴影部分所示的集合的元素区有( )

A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷多个 【答案】B

【解析】 ∵阴影部分为M∩N={x|-2≤x-1≤2}∩{x|x=2k―1,k=1,2,…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k-1,k=1,2,…}={1,3},∴阴影部分所示的集合的元素区有2个,故选B项.

【总结升华】具体集合(给出或可以求得元素的集合)的交、并、补运算,以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象,因而也是高考命题的热点.

举一反三:

【变式1】已知全集U=R,则正确表示集合M={—1,0,1}和N={xx2x0关系的韦恩图是( )

A. B. C. D. 【答案】B

【变式2】设全集为R,Ax|3x7,Bx|2x10, 求CR(AB)及(CRA)B

【答案】CR(AB)=x|x2或x10;(CRA)B=x|2x3或7x10.

例7.若集合A={x|x―ax+a―19=0},B={2,3},C={2,―4},满足A∩B真包含,且A∩C=,则实数a的值是________。

【思路点拨】 由题设,A∩B

22

且A∩C=知,2,3与集合A的关系,再进行解答。

2

2

【解析】 由已知:3∈A,2A,则3―3a+a―19=0,即a=5或a=―2。 当a=5时,A={2,3},与题意矛盾; 当a=―2时,A={―5,3},符合题意。 由上述分析知a=―2。 【总结升华】 集合是由元素构成的,要确定一个集合首先明确集合中元素的范围及其满足的性质,再把集合中的元素一一找出来。 例8.设集合A={x|a―4<x<a+4},B={x|x<-1或x>5},若A∪B=R,则a的取值范围是________。

【思路点拨】 此题考查两个集合并集的运算。由于题中所给集合为含不等式的描述法形式,可以借助数轴进行直观的分析。

【解析】 A∪B=R,利用数轴作图如下:

因此可知:

a41。 即 {a|1<a<3}。

a45【总结升华】 明确集合中元素的范围及其满足的性质,用特征性质描述法表示的集合可借助数轴

来分析,直观性强。

举一反三: 【变式1】 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|k+1≤x≤2k-1},若A∩B=,求实数k的取值范围。

【解析】

A∩B=,

当B时,2k-1当B时,k+1>5或2k-1<-2 ,即k>4。 综上知k4或 k2。

例9.(2014 福建南安期中)已知集合Ax4x8,Bx2x10,Cxxa.

(Ⅰ)求AB;CRAB;

(Ⅱ)若AC,求a的取值范围. 【思路点拨】(1)画数轴;(2)注意是否包含端点. 【答案】(Ⅰ)x2x10,(Ⅱ)4, 【解析】

(Ⅰ)∵ Ax4x8,Bx2x10, ∴ 如图,ABx2x10;

CRAxx4或x8

∴ CRA

(Ⅱ)画数轴同理可得:a4,.

【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算,但其本质是一个定区间,和一个动区间的问题.思路是,使动区间沿定区间滑动,数形结合解决问题.

举一反三:

【变式1】 已知集合A={x|-2≤x<7},取值范围。

【解析】在数轴上画出集合A

UUBx2x4或8x10

B{x|k1xk4},若A∪B=R,求实数k的

B{x|k1xk4}

Bx|xk1或xk4

要使A∪B=R,即k12且k47 解得3k3。

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