1．把1996个□排成一排，甲、乙、丙三个小朋友轮流对这些□染色．甲把第一个□染成红色，乙把接下去的2个□染成黄色，丙把接下去的3个□染成蓝色，甲再把接下去的4个□染成红色，乙把接下去的5个□染成黄色，丙把接下去的6个□染成蓝色，…，直至将全部□染上色为止．其中被染成蓝色的□共有 673 个．
【分析】通过题意，甲乙丙三个小朋友把□染色时是一组循环往复的数字，如下图，数字是指个数，首先要算出1996有多少组，即1+2+3+…62＝1953，还余1996﹣1953＝43，其中被染成蓝色的是3、6、9…60以3为首项，3为等差的等差数列，余下的43个，在第62组之后，刚好是被染成蓝色，（组数是3的整数倍余1的被染成红色，余2的被染成黄色）；因此得解． 甲，乙，丙， 红，黄，蓝， 1，2，3， 4，5，6， 7，8，9， 10，11，12， … 61，62，
【解答】解：因1+2+3+…+62=而1996﹣1953＝43． 故被染成蓝色的□共有： （3+6+9+…+60）+43=
(3+60)×20
+43＝673（个）． 262×63
=1953， 2答：其中被染成蓝色的□共有 673个； 故答案为：673．
【点评】正确理解染成红黄蓝三色的数字分组是解决此题的关键，第几组的数字就是有几个□．
2．把1993分成若干个自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是 3663×22． ． 【分析】因为1993＝3×663+2×2，故将它分成3+3+⋯+3+2+2时，这些加数之积最
︸663个 第 1 页 共 5 页
大．
【解答】解：因1993＝3×663+2×2，故将它分成3+3+⋯+3+2+2时，这些加数之积
︸663个最大．
即乘积最大是：3663×22． 故答案为：3663×22．
【点评】关键是明白：把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大．
3．1996年的5月2日是小华的9岁生日．他爸爸在1996的右面添了一个数字，左面添了一个数字组成了一个六位数．这个位数正好能同时被他的年龄数、出生月份数和日数整除．这个六位数是 219960 ．
【分析】因为5、2、9的最小公倍数是90，所以这个六位数能被90整除，则这个六位数的个位数字是0，再根据能被9整除的特征：各个数位上的数字之和能被9整除可知，最高位上的数字应该是2，据此即可解答问题．
【解答】解：[5，2，9]＝90，这个六位数应能被90整除，所以个位是0，十万位是2． 所以这个六位数是219960． 故答案为：219960．
【点评】此题主要考查整除的意义，及根据整除的意义和数的整除的特征解决有关的问题．
4．某项工程进行招标，甲、乙两工程队承包2天完成需人民币1800元，乙、丙两工程队
52
承包3天完成需人民币1500元，甲、丙两工程队承包2天完成需人民币1600元，现要
4
7
36
求由某队单独承包且在一星期内完成，所需费用最省，则被招标的应是 乙 工程队． 【分析】把这项工程看作单位“1”，先根据单价＝总价÷数量，分别求出甲乙，乙丙，甲丙合作每天需要的钱数，以及工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲乙，乙丙，甲丙合作的工作效率，进而求出甲，乙，丙每天需要的钱数，以及甲，乙，丙的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，求出3队完成这项工程，需要的时间，最后根据总价＝数量×单价，求出完成这项工程需要的总钱数，比较即可解答． 【解答】解：先求甲、乙、丙一天所需经费： 甲乙合做每天1800÷5=750（元）；
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12
乙丙合做每天1500÷3=400（元）； 甲丙合做每天1600÷2=560（元）． 三队合做每天需要的钱数： （750+400+560）÷2， ＝1710÷2， ＝855（元）．
甲独做每天需要855﹣400＝455（元）； 乙独做每天需要855﹣560＝295（元）； 丙独做每天需要855﹣750＝105（元）． 甲乙合做的工作效率：1÷2=乙丙合做的工作效率：1÷3=
63
4255； 124； 157
6734甲丙合做的工作效率：1÷27=20． 故三队合做每天能完成全部工作的工作效率： (
54731++)÷2=． 121520603160
甲的工作效率：
1
−
415
=，
4
1
即甲需1÷4=4天， 乙的工作效率：
31
3160
−
720
=，
6
1
乙需1÷(60−20)=6（天）， 丙的工作效率：丙需1÷(
3160
7
−
512
=
1
10
，
315
−)=10（天）， 6012甲完成工作需要的钱数：455×4＝1820（元）， 乙完成工作需要的钱数：295×6＝1770（元）， 丙一星期之内不能完成工作， 1770＜1820，
答：被招标的应是乙工程队， 故答案为：乙．
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【点评】求出3队分别完成这项工程需要的时间，以及每天需要的钱数，是解答本题的关键．
5．学生学军打靶，每打一发子弹中靶的环数是0，1，2，…，10环中的一种，某学生打了五发子弹，共中45环，那么这个学生五发子弹中环的环数分别是 10，10，9，9，7或10，10，9，8，8 ．（已知无三发子弹所中环数相同）
【分析】平均每发子弹打出的环数是：45÷5＝9（环），由于最多是10环，如果只有一发10环，那么另外4环中要有一个8环，剩下的3环，都是9环，这与题干相矛盾；所以必须要有2个10环，那么剩下的3环可以是：9，9，7或9，8，8，据此解答． 【解答】解：平均每发子弹打出的环数是：45÷5＝9（环），
由于最多是10环，如果只有一发10环，那么另外4环中要有一个8环，剩下的3环，都是9环，这与题干相矛盾；
所以必须要有2个10环，那么剩下的3环可以是：9，9，7或9，8，8， 因此这个学生五发子弹中环的环数分别是：10，10，9，9，7或10，10，9，8，8 故答案为：10，10，9，9，7或10，10，9，8，8． 【点评】本题关键是根据最多是10环，确定10环的个数． 6．分母是385的最简真分数有 240 个；它们的和是 120 ． 【分析】因385＝5×7×11，在1至385中，5的倍数有（个）；11的倍数有的倍数有
385
38511
3855
=77（个）；7的倍数有
385
3857
=55
=35（个）.35（5×7）的倍数有
385
5×7
=11（个）；55（5×11）
5×11
=7（个）；77（7×11）的倍数有
7×11
=5（个）；385的倍数有一个．由
容斥原理知，是5或7或11的倍数的数的个数是77+55+35﹣11﹣7﹣5+1＝145（个）．故与5，7，11都互质的数有385﹣145＝240（个），即以385为分母的真分数中，最简分数有240个．因当
𝑎385
是最简分数时，
385−𝑎385
也是最简分数且其和为1，即最简真分数是成
对出现的，且每对两数之和为1．从而240个最简真分数可分成120对，其和为120．据此解答．
【解答】解：因385＝5×7×11，在1至385中，5的倍数有7的倍数有
385711
3855
=77（个）；
=55（个）； =35（个）；
11的倍数有
385
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35（5×7）的倍数有
385
5×7
=11（个）； =7（个）； =5（个）；
55（5×11）的倍数有77（7×11）的倍数有385的倍数有1个．
385385
5×117×11
由容斥原理知，是5或7或11的倍数的数的个数是： 77+55+35﹣11﹣7﹣5+1＝145（个）．
故与5，7，11都互质的数有385﹣145＝240（个），即以385为分母的真分数中，最简分数有240个． 因当
𝑎385
是最简分数时，
385−𝑎385
也是最简分数且其和为1，即最简真分数是成对出现的，
且每对两数之和为1．从而240个最简真分数可分成120对，其和为120． 故答案为：240，120．
【点评】本题的关键是根据385的因数求出分母是385的最简真分数有多少个．
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