高一数学数列部分经典习题及答案

.数 列

一．数列的概念：

n1*(nN)n2156，则在数列{an}的最大项为__（答：25）；

（1）已知

an（2）数列{an}的通项为

ananbn1，其中a,b均为正数，则an与an1的大小关系为__（答：anan1）；

2{a}ann，且{an}是递增数列，求实数的取值范围（答：3）nn（3）已知数列中，；

二．等差数列的有关概念：

1．等差数列的判断方法：定义法an1and(d为常数）或an1ananan1(n2)。

a1a2ann设{an} 是等差数列，求证：以bn= nN*为通项公式的数列{bn}为等差数列。

2．等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d。

(1)等差数列{an}中，a1030，a2050，则通项an （答：2n10）；

8d33（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：）

3．等差数列的前n和：

Snn(a1an)n(n1)Snna1d22，。

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1315anan1(n2,nN*)anSn22，前n项和2，求a1，n（答：a13，n10）（1）数列 {an}中，，；

2*12nn(n6,nN)Tn2*2n12n72(n6,nN)S12nn{|a|}T{a}nnnn（2）已知数列 n的前n项和，求数列的前项和（答：）.

三．等差数列的性质：

1．当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且率为公差d；前n和

Snna1n(n1)dddn2(a1)n222是关于n的二次函数且常数项为0.

2．若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

3．当mnpq时,则有

amanapaq，特别地，当mn2p时，则有

aman2ap.

（1）等差数列{an}中，Sn18,anan1an23,S31，则n＝____ （答：27）

a（2）在等差数列n中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n项和，则

A、S1,S2S10都小于0，S11,S12都大于0 B、S1,S2S19都小于0，S20,S21都大于0

C、S1,S2S5都小于0，S6,S7都大于0 D、S1,S2S20都小于0，S21,S22都大于0

（答：B）

4．若

{an}{bn}、是等差数列，则

{kan}{kanpbn}、

{apnq}(p,qN*)Sn,S2nSn,S3nS2npk (、是非零常数)、、 ，…

an{a也成等差数列，而}成等比数列；若{an}是等比数列，且an0，则{lgan}是等差数列. 等差数列的前n项和为

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25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）

5．在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，（这里

a中S偶－S奇nd；项数为奇数2n1时，

S奇S偶a中，

S2n1(2n1)a中即an）；

S奇:S偶(k1):k。如

（1）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；

（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

Anan(2n1)anA2n1f(n)f(2n1)AB{an}{bn}Bb(2n1)bBn2n16．若等差数列、的前n和分别为n、n，且n，则 n.

anSn3n16n2如设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若Tn4n3，求bn（答：8n7）

7．“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项

an0an0或a0a0n1n1确定出前多少项为非负（或非正）和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组；

法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN。

*（1）等差数列{an}中，a125，S9S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，

（2）若{an}是等差数列，首项a10,a2003a20040，a2003a20040，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是

（答：4006）

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8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究anbm.

四．等比数列的有关概念：

an1an1aq(q为常数）n1．等比数列的判断方法：定义法an，其中q0,an0或anan1(n2)。

5（1）一个等比数列{an}共有2n1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an1为____（答：6）；

（2）数列{an}中，Sn=4an1+1 (n2)且a1=1，若bnan12an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。

ana1qn1anamqnm2．等比数列的通项：或。

12或2）

设等比数列{an}中，a1an66，a2an1128，前n项和Sn＝126，求n和公比q. （答：n6，

qa1(1qn)a1anqSnSna1q1q。如 1；当q1时，3．等比数列的前n和：当q1时，n（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3a6a99 （答：44）

特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q1和q1两种情形讨论求解。

4．提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要

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aa2,,a,aq,aq2qq注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设

aa,,aq,aq332qqq为…，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。如有四个数，其中前

三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比数列的性质：

amanapaqamanap2mn2pmnpq（1）当时，则有，特别地，当时，则有.

（1）在等比数列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整数，则a10=___（答：512）；

（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a69，则log3a1log3a2log3a10 （答：10）。

a{n}{a}(p,qN){kan}{bn}(2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、pnq、成等比数列；若{an}、成等比数列，则{anbn}、bn*成等比数列； 若{an}是等比数列，且公比q1，则数列Sn,S2nSn,S3nS2n ，…也是等比数列。当q1，且n为偶数时，数列Sn,S2nSn,S3nS2n ，…是常数数列0，它不是等比数列.

（1）已知a0且a1，设数列{xn}满足logaxn11logaxn(nN*)，且x1x2x100100，则x101x102x200 答：100a）；

100（2）在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S3013S10,S10S30140，求S20的值（答：40）

(3)若a10,q1，则{an}为递增数列；若a10,q1, 则{an}为递减数列；若a10,0q1 ，则{an}为递减数列；若a10,0q1, 则{an}为递增数列；若q0，则{an}为摆动数列；若q1，则{an}为常数列.

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(4) 当q1时，

Sna1naq1aqnb1q1q，这里ab0，但a0,b0，这是等比数列前n项和公式的一个

特征，据此很容易根据Sn，判断数列{an}是否为等比数列。

n{a}S3r，则r＝ （答：－1） nn若是等比数列，且

(5)

SmnSmqmSnSnqnSm.如设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1,Sn,Sn2成等差数列，则q的

值为_____（答：－2）

(6) 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，

S偶qS奇；项数为奇数2n1时，

S奇a1qS偶.

(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

设数列an的前n项和为Sn（nN）， 关于数列an有下列三个命题：①若anan1(nN)，则an既是等差

2Sanbna、bR，则an是等差数列；③若Sn11n数列又是等比数列；②若

n，则an是等比数列。这些

命题中，真命题的序号是

（答：②③）

五.数列的通项的求法：

⑴公式法：

⑵已知Sn（即a1a2anf(n)）求an，用作差法：

anS1,(n1)SnSn1,(n2)。

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①已知{an}的前n项和满足log2(Sn1)n1，求an（答：

an3,n12n,n2）；

11aa122{an}2②数列满足2114,n1aa2n5n1nnna2,n22，求n（答：）

⑶已知a1a22f(1),(n1)f(n)an,(n2)f(n1)anf(n)an求，用作商法：。如数列{an}中，a11,对所有的n2都有

61a1a2a3ann，则a3a5______（答：16）

⑷若an1anf(n)求an用累加法：an(anan1)(an1an2)1(a2a1)

a1(n2)。如已知数列{an}满足a11，

anan1n1n(n2)，则an=_______（答：ann121）

an1aaf(n)annn1an1an2⑸已知an求an，用累乘法：

a2a1a1(n2)。如已知数列{an}中，a12，前n项和Sn，

若

Snn2an，求an（答：

an4n(n1)）

⑹已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如

ankan1b、

ankan1bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an。

① 已知

a11,an3an12，求

an（答：

an23n11）；

② 已知

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a11,an3an12n，求

an（答：

an53n12n1）；

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（2）形如

anan1kan1b的递推数列都可以用倒数法求通项。

①已知

a11,anan11a3an11，求an（答：n3n2）；

②已知数列满足a1=1，an1ananan1，求an（答：

an1n2）

a1S1）注意：（1）用anSnSn1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n2，当n1时，；

（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式anSnSn1，先将已知条件转化为只含an54,n1aa4,SSan1nn1n1Sn{an}an34n1,n23或的关系式，然后再求解。如数列满足，求（答：）

六.数列求和的常用方法：

1．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：

132333n3[n(n1)2]2.如

123n1n(n1)12222，

n21n(n1)(2n1)6，

4n12222aaaa{a}ｎ123nn（1）等比数列n的前项和Sｎ＝2－１，则＝_____（答：3）；

2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：

Sn1357(1)n(2n1)n(1)n） （答：

3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.

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已知

f(x)1117xf(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f()1x2，则234＝______（答：2）

24．错位相减法：

设{an}为等比数列，Tnna1(n1)a22an1an，已知T11，T24，①求数列{an}的首项和公比；②求数列{Tn}的通项公式.（答：①

a11Tn2n1n2q2，；②）；

5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

11111(11)①n(n1)nn1； ②n(nk)knnk；

1111111111112()22kk1(k1)kk(k1)kk1k； kk12k1k1③，

n111111[]④n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2) ；⑤(n1)!n!(n1)!；

⑥

2(n1n)212(nn1)nn1nnn1.

2111447（1）求和：

1n(3n2)(3n1) （答：3n1）；

（2）在数列{an}中，

an1nn1，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）；

6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如

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n(n1)(n5)3①求数列1×4，2×5，3×6，…，n(n3)，…前n项和Sn= （答：）；

②求和：

1111212311232nn （答：n1）

.