Journal of Mechanical & Electrical Engineering V* !5 4
Apr. 2018
DOI；10.3969/j. issn. 1001 -4551.2018.04.017
一级倒立摆的分析和^综合研究
张义辰
(上海理工大学机械工程学院，上海200093)
摘要:针对设计一级倒立摆系统的H„鲁棒控制器时出现的保守性问题，提出了一种以结构奇异值M理论为依据的M分析和M综合
方法。首先进行了倒立摆系统的标准H„控制器设计，同时运用^分析的方法证明了系统H„控制器存在保守性这事实，指出了 问题的解决方向；其次，针对出现的问题，运用D-K迭代算法设计了修正后的H„控制器并加人原系统，修正了原控制器存在的问 题;最后从仿真实验结果和与不同干扰抑制度的H„控制结果的比较等方面，验证了新方法对降低保守性的实际效果。研究结果表
一
明;新方法降低了原控制器的保守性，同时改善了输出质量，方法有效。关键词:一级倒立摆系统#分析糾综合;标准H„控制;D-K迭代算法中图分类号:TP24 文献标志码:A
文章编号:1001 -4551(2018)04 -0425 -06
(analysis and syntliesis of inverted pendulum
(Institute of Mechanical Engineering，Shanghai University of Science and Technology，Shanghai 200093，China)
Abstract； Aiming at sis on theory
of
tlie conservatism
problem of designing
was
h-infinity robust
controller on
basis
of inverted
structure singular value
presented. First，standard
h-infinity controller was
ZHANG Yi-chen
pendu
developed and was proved
analysis，so that key factors were found out. Then，D-Kiteration method was applied to correct the original controller and added to system.Finally，the practise effects of improve conservatism were verified by simulation results and comparisons with other h-infinity controllers ondifferent interference suppression gues that it is effective.
Key words； inverted pendulum； '
analysis； ' synthesis；
standard h-infinity control； the algorithm
of
D-Kiteration
level.
The results
indicate that
newmethod
declines conservatism
and
impro
〇引言
单级倒立摆是倒立摆系统中形式最简单的一种模 型，具有非线性性、不稳定性等特性，常被作为研究非 线性控制、鲁棒控制、最优控制、自适应控制等问题的 经典模型。鲁棒控制问题作为先进控制问题的典型代 表，其中的Ha控制理论、H2控制理论、滑模控制理论 等都是解决这类问题的经典理论，近年来成为控制领 域研究的热点。
关于控制算法保守性问题的分析与处理，学术界 做了相当多的研究。李炜等[1]在新模型中引入时延
收稿日期:2017 -09 -04作者简介:张义辰（1992 -
下界，并且在证明过程中略去了模型转换和交叉项放 大等环境，引入了适当的自由权矩阵，解决了鲁棒控制
结果的保守性，并与传统的LMIS算法相比较，揭示了 传统方法的保守性;马静等[23]重点从原理分析与公式 推导方面说明了由于寻求公共Lyapunov矩阵而带来 的鲁棒控制的保守性，并分别基于积分滑模控制和多 面体不确定性区间震荡控制方法改进了鲁棒H2/Ha 控制的保守性;杨忠[4]从模糊时滞系统出发，重点研 究了如何在稳定条件下降低保守性的问题，提出了保 成本控制条件、针对时变时滞模糊系统的保守性减小 方法和区间变时滞模糊系统Ha控制的保守性减小方
),男，新疆乌鲁木齐人，硕士研究生，主要从事机器人鲁棒控制理论方面的研究。E-mail:z8839933@163. cm
-426 -机 电工程第35卷
法;林庆强[5]则研究了不确定线性时滞系统控制 的保守性减小修正方法;PFIFERH等(6)则使用积分二 次型约束进行了线性时变系统低保守性鲁棒性能分 析，从实验结果上证实了保守性的降低。这些方法的 共同之处在于都是通过一种新的方法或理论来规避原 方法的保守性，力求通过其他算法的优势来弥补这一 劣势，但是都没有真正从传统算法本身来修正该算法， 降低保守性。然而，从老方法入手解决保守性问题，使 得修正方法的可操作性明显增强，省去了新理论的理
解和复杂公式的推导，降低了难度，提高了效率。因 此，研究控制方法本身的保守性修正问题很有必要。
本文将提出应用结构奇异值的理论来解决Ha控 制的保守性问题，即对一级倒立摆系统进行M分析和M
综合(对文献[7-8]总结出的倒立摆模型作适当处理#。
1系统描述
一级倒立摆系统的示意图如图1所示。
图1 一级倒立摆系统
该系统的的输入信号4包含倒立摆期望角位移和 台车期望水平位移两部分;干扰Y主要包含摩擦、振 动、冲击等;输出信号5包含倒立摆的实际角位移、台 车的水平实际位移;驱动元件主要是台车的驱动电机; 力位转换器主要负责将输入的位移信号转换成力或者 力矩信号;反馈控制器为负反馈控制器，由具体的控制 算法求得。整个系统实际为轨迹跟踪系统，跟踪性是它 的重要性能指标。
简化模型可以写成如下的形式：
! #
动是有界的、随机性的，按照不确定参数的标准形式可
：
c
l
=c0 +
=l〇 ' kld，kl = /max - /min
M，< =c腿-cmm
⑷(5 #
式(4〜5#中:&一极点摩擦系数;&一极点摩擦系数基
m$k&，< 一权重系数，k&、< + -;+ —不确定函数，+ +
[-1，& ]。
准值;l 一摆杆质心位置，m; l〇 —摆杆质心位置基准值，
Ax ' :&Y +
为了进一步简化模型，降低研究的复杂程度，特将
( 1 #⑵
(3 #
参数/确定为基准值l，参数&不变，那么原模型就变
成了只含有个摄动参数c的系统模型，矩阵A的变
一
4
[A\"，b(0，A0，b(0]
4 #4(\"，Y ⑴
时变系数矩阵A和：主要受极点摩擦系数c和倒 立摆摆杆质心位置/的影响，这两个不确定参数的摄
-00
00〇0 -
-化和参数l无关，而矩阵：和：2变为常数矩阵，具体 的：10
01
(6#
0
m l
(M ' m) J ' Mmll
(M) mgl0\\ + m/ 〇 0 (J + \\)/ + J\\〇
&ml0-(J + ml)H2TH2g
[(M ' m)J ' Mml]2a(2(M ' m) J ' Mmll
-c(M 丁' //tym)m0lT1Hg
[ (J + a + Mml〇 ] 2ar2 (M ' m#J ' Mmll
—J^/l〇 K.R K.9
:1 # :2 # [〇
[(M + m)J + Mmi〇]2ar[(M + m)J + MmZ〇]2a]
(J 'mlHH
(7)
第4期
张义辰'一级倒立摆的;a分析和;a综合研究
-427 -
式中:\\一摆杆质量，kg —台车质量，kg $ g—重力加 速度Nm，取9. 8 m/s2;2—电枢电阻，电机力矩系 数，/A;HE—反向电势系数，Vs/rad;r—台车驱动 轮半径，m;Hg —齿轮比;a —转动惯量，kg - m2&
人为定义不确定参数c的范围为（-0• 6,0]，基准 值为-0.3,将此基准值代入式（6)中，并结合文献[11]第4部分的已知参数，矩阵9的标称矩阵9。、干 扰输入矩阵%输入矩阵：2的具体形式为'
-001 0 -000 10-3.04-15.52 - 1.45
匕0
31.58
38.17 15.09 ^
-0
-：1 # ：2 #
03.43
&L-8.43」
进一步可得到系统的标称形式为：
! # 90! + ：1 Y + ：2 4
( 8 )
> 无扰状态下的标准H。控制 Ha控制是通过控制系统在最坏情况下的最大幅
值来增强不确定系统鲁棒性的方法，这种方法的性能
指标是不确定系统的最大奇异值，即系统的Ha范数。 实际应用表明，几乎所有的Ha控制问题都可以转化
为标准Ha控制问题[9]，并可遵照下述结构图求解，
模型如图2所示。
图2 系统的鲁棒分析基本模型
标准Ha控制问题如图2(a)所示。图2(a)中的） 和&为已知的控制系统和待求的控制器;Y，4，+，5分 别代表有限维的外部输入、控制输入、被调输出和测量
输出。标准H
a问题就是要寻找一个控制器&，使得闭
环系统内部稳定，并且让被调输出z和外部输入y间的 传递函数3+的Ha范数取得最小值，总的来说就是求
解问题，即：
&min稳定
G
'()，&) ||
(9)
求解这一问题，具体可以通过求解代数黎卡提方 程或者求解线性矩阵不等式组来完成。求解标准Ha
控制问题，从另一个角度来考虑，主要是运用了小增益 定理，即保证：
|| )(H)&(H) I a < 1 (10)
本例中采用LMI方法求解这一问题，无扰状态下 控制器的具体求解过程可参见文献[10]，这里给出求 解结果：&0 # [ 539.939 7，126.341 2，143.245 1，61.453 7 ]
(11)
需要指出的是，小增益定理（10)是使系统具有鲁 棒稳定性和鲁棒特性的最低条件，这一条件实际上可 以等效地表示成：
SUP-max[ GK] ' 1 (12)
即系统的最大奇异值不超过1，这就使得算出的 标准Ha控制器不一定是最优控制器，从而使结果产 生一定的保守性，这种保守性会让优化后的系统不能 真正达到性能指标的最优值，影响最终的控制效果。因 此就需要一种方法来直观地描述这种保守性，同时需
要另一种方法来降低或者消除这种保守性。
3
—级倒立摆分析
3.1 ;(分析方法
一级倒立摆的M分析是以系统的结构奇异值理论
为基础提出的，结构奇异值衡量系统结构不确定性大 小的一种值。确切地说，它是对使反馈系统不稳定的最 小结构不确定性的一种量化处理，也是反馈系统本身 稳定裕度的倒数。对于具有如图2(b)所示的系统结 构，其结构奇异值Ma [!(A ]的形式为：
'〜
[!(
A] mm----------{-maX(A):1det------------(/-JA)}(13)
、)式中:A—快对角结构不确定性。
与系统的最大奇异值-maX(!)相比，结构奇异值
'(!)介于谱半径$!)和-max(!)之间，即'
$!)*'(!) *-
max(!) (A
用结构奇异值M来分析系统鲁棒性时，常常将系
的 个 性的 量 在 ，2(b)中的不确定性A，是一个块对角结构。其中，！通 常为已知系统）和已求控制器&的线性分式变换，即：
! # 1()，&) #
「！n !121
L !21 !22 J
(15)
式中:！，！n，！12，！21，！22—广义系统及其子块;F— 已知系统的传递函数;&—反馈控制器;1(-，-)—下 线性分式变换。
该式实际反映了系统本身的鲁棒稳定性，而系统
428机电工程
35 ^
!与
性A之间的线性分式变换又实际反映了系
统的鲁棒性能大小，是鲁棒稳定性与鲁棒特性的
：(16)
式中:@(-，0—上线性分式变换;！一 块。
此时判断已知系统是否满足小增益定理，只需 保证：
—'(!)* 1
(17)
该条件要比单纯的使用||)(H)&(H# || a < 1，
即
的最大奇异值-max * 1要密的多，故而
方法保守性的缺点。
对 进行M分析，通常是 的具
，绘制 的 奇异值M随频率3变化的曲线，该曲
观地反映
性因素的
变化范围，变趋势、
变
等信息，对
断
是否稳定、分析 鲁棒特性、评价控制方法优劣
性很有帮助。
3.2 —级倒立摆的/(分析
'分析方法在评价控制方法优劣性方面的优
势Qa，本 采用该方法来分析 控制的保守性。本研究先利用Ma/b
，以便确认
中的frd函数 (频函数） 改成频响函数的 ；@使用函数musi(计
奇异值）计
在
频率值下
的M值的上界和 ，然 上界值，绘制上界值随
频率3的变化曲线，即M分析曲线； 计 的
Qa范数，将其作为常函数，和M分析曲线画在同一坐
。绘制
3所示。
090
•807•60•5•043•20•00••00••00••00••00••
1〇-3 10—2
10'1 10o/(rad° 101 102 103
104
• s_1)
图3 修正前后系统的^分析图
带“ □”标记的实线一修正后系统的最大奇异
值标记一修正后系统的结构奇异值$ \"带（〇”标记的实线一修正后系统的最大奇异值 -ma_ ;“〇”标记一修正后系统的结构奇异值'
由图3 看出： Qa控制方法优
的系
，其 奇异值的峰值和最大奇异值 存在一定
的间距，
实际
的控制器是
的最优解，存在保守性。
4 不确定系统的综合问题
文献[9]
:修正原算法 低或消除保守性
D转 的综
。-K；
法是解决
综
的一种有效方法，它的主要思路是运用矩阵对角放缩的方法来计算 的上界，同时 满足
上界的最优控制器。对个满足式(7)的 ！，首先固 阵,，解
Qa控制
[11]'
&稳5 1，
MD_1 1 a
( 18 )
优控制器&，再固定控制器&，求解关于,
的凸优
'inf || DMD @ 1 a
(19)
新的
阵Dk再以此
点进行
计
算，至计 的两个
阵差距足够小，便
修正的最优控制器&
pt。在初次求解时，初始的
矩阵D% 阵>，求解程中，需要在每一
步 计
毕后对修
进行分析，检 奇值是否满足公式（17 )，条件满足则
，若
条
满足，则
原
解。
在Ma/b中应用D-K :
法设计控制器，主要
是
LMI工具箱和最优化函数fmincon交替使用，具体 步骤如下[12]:(1)设D% # >，使用LMI工具配合最优 解函数mine求解 Ha ， 优解&%，并使用mussv函数计算优 的 奇异值'；（2) f&固定， 阵D<定为未知量，使用fmincon函数计算最优解D*t;(3)检验||D*t-D<||是否小于给定
值， 1e-7，条满足则 ，若不满足则返
步骤（1)重新计算。值
的是，虽然使用该方法
的最优解&非全局最优解，
对制器本身的修正效
充分的降低了保守性。基于上述方法，对本例中的控制器
&%进行M综合修正，
次
，
修
后
的控制器可行解矩阵：
&*t # [466.47,93.97，117.96,52.30]
5 验证分析
修 制器的验证主要分3个方面:（1)
'分析检验 Qa控制解的保守性是
低或者消除，
主要是看修
优
的M曲线的峰值与最大奇异值是否重 者距离在 范
；
(2)观察控制器修正前后，优化后的
的控
第#期
张义辰:一级倒立摆的;a分析和;a综合研究
-429 -
制性能有无变化，这主要从摆的
性和 的跟踪特性两方面检验，若两种特性无明显变化，则
修正方法对 的控制性 较大 ；（3)二较控制器修
，
的
信号的评价指有无变化，若指值变 大 修
小，则说明
修正后的控制器对 制
有所改善。
5.1有效性验证
观察图3可以发现:修正前系统的最大奇异值和 结构奇异值相差〇. 010 33,修 两值相差0.003 81。 上 ：修 的控制器，其保守性有明显的降低，
修方法有效。
5.2仿真输出结果验证
本研究利用Matlab/Simulink参照式（1 #搭建仿真 模型，使用与有关文献中相同的
信号进行 ，仿
和
4所
。
Integrator!
(a)仿真系统 摆的镇定
输优入信优化化前号后的的
输输出
出 图4仿真系统和仿真结果
实线一输入信号；点划线一修正前系统的控制效果; 虚线一修正后系统的控制效果
观察 4 ： 修 ， 的 效 和的
节效
修 ，
修
的
方法保守性有了改善；
在
1所的仿真
实验数据上也 。
对
原始数据进行抽样后得到的数据如表1所
。
表1优化前后的仿真实验数据对比
时间输人优
化前台车优化后台车优化前摆角优角
\"S信号4位移！
/m//m位移bra(L位移b/raL10000020000030000040000050.20
000
A0.20.19A 237 9580.195 717 82A-0.017 113
461-0.016 330 88770.20.199 997 07
0.200 029 A83-0.003 504 426-0.003 310 055
80.20.200
011 7840.199 937 494-0.000
600 175-0.000 397 46790.20.200 014 6350.199 944 937-0.000 127 813 2.593 42E -05100.20.200 020 294
0.199 882 372-A. 199 85E-050.000
221 49由表1可以看出：优化后的摆角位移比优化前更 \"0，的 效
有改善，进一步从明了原方法优
保守性的改善。
计算文献[7]
5部分
的摆的镇定和台车
节两个评价指标，当使用传统方法的控制器
&优化系统时，摆的镇定评价值D& =0.418,台车
节的评价值
m?;。\" A;使用综合方法的 制器优 时，摆的 价值D$1 =
0.393 1，台车位置调节的评价值=1.971 8。显
然，控制器修
的
价值
修 ，说新方法在降低保守性的同时对
的
指
标略有改善。5@不同
H'算法的特性比较
本文研究的是H00控制的最优算法，对该最优 算法进行M综合保守性分析，还有一个重要的步骤 是 与 制 /的次优Ha控制法 较，重点观察 在M曲线上的变化。为此，分别取/ = 3 %2 % 1、0. 7设计倒立摆的Ha次优控 制器， 原始 进行4次M分析，绘制4条/x 曲线，与M综 法优 的两个最优控制 ：的M曲 较。 I算法的M特性 5
所
。
观察图5 ( a#可以发现:随着/值的减小，系统在 不同频率下的M值也相应 ，其中M值的峰值 ：
显;次优算法与最优算法 晰比较可由图
5(b)看出：
优
的最优
其M值最小，与优的最优控制系统相比，对 因素的抑制
，进一步揭 优
优算法的保守性，证明了M综合方法对降低
保守性所发挥的作用，该优化
-430 -机 电工程第35卷
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[编辑!李辉]
6结束语
本文将M分析和M综合理论应用在倒立摆的Ha 制
中，从结构奇异值的角 传
效地修 ， 性，改善
纯利用小增益定理来设计控制器的缺
Ha最优控制方法的不足，降低保守
的控制性能和
量。
时，在用D-K 法求解M综合问题时，本
文使用最优化函数fmincon 解 （19 #的优
，
，该方法新颖、效
。
本文引用格式！
张义辰• 一级倒立摆的M分析和M综合研究[J].机电工程，2018,35(4):425 -430.
ZHANG Yi-chen. ' analysis and synthesis of inverted pendulum[ J]. Journal of Mechanical & Electrical Engineering，2018，35 (4) ：425 -430.
《机电工程》杂志：http ://ww. meem. com. cn
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