一、 指导思想与理论依据
根据布鲁纳认知发现学习理论可知，学习就是主动地形成认知结构的过程，学习的过程实际上是人们利用已有的认知结构，对新的知识经验进行加工改造并形成新的认知结构的过程。这个过程不是被动地产生的，而是一种积极主动的过程。根据维果茨基的最近发展理论，教学中为学生发展创造最近发展区，从而使得学生的最近发展转化为他现有的发展水平。课程标准中也同样指出课堂教学应激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。
本节课通过一系列与圆有关的探究活动，得出圆心角和弦与半径的比具有函数关系，通过图形间的分解和转换，过渡到直角三角形中，进而得出直角三角形中锐角和对边与斜边的比值具有函数关系，从而得到正弦函数的概念。
本节课的教学设计符合学生心理和发展特点，体现了函数的思想，加深了学生对函数概念的理解，激发学生内部学习动机。
二、 教学背景分析
（一）教学内容的地位与作用：
本节课内容选自《人教版义务教育教科书》九年级下册第二十八章锐角三角函数第一课时正弦函数，这部分内容在课本61页——63页。
锐角三角函数是全章乃至整个三角学的基础，是初中数学的重要内容之一，也是初中教材中出现的唯一的初等超越函数。而本节课是锐角三角函数的起始课，通过探究圆心角与所对弦的对应关系，进而找出具有函数关系的量，从而得出正弦函数的概念。掌握了正弦函数的概念和研究方法，不仅可以使学生更全面的认识函数的概念，而且也为今后学习三角函数做好准备。
（二）学情分析
学生已经学习过函数的概念、相似三角形、勾股定理、以及圆的相关知识，已具有一定的数学探究活动的经历和能力，具有一定的合情推理和推理证明能力。
正弦函数是建立锐角与比值之间的对应关系，这种关系不同于以前学习的数值与数值的对应关系，因此学生建立这种对应关系有一定难度。
（三）教学方法
探究式、启发式。本节课通过六个学习活动，尝试给学生创造充分探究的空间和时间，减少教师在课堂上的机械宣讲，让学生真正体验和经历了一回数学再发现、问题再认识的过程。
（四）教学手段：多媒体投影与计算机辅助教学。
（五）技术准备：课前制作的几何画板课件、PPT演示文稿、印发学生学案。
三、教学目标及重难点的确定
基于上面对课程的整体认识和学生情况分析，确定了以下教学目标及重难点：
目标：
1、理解正弦函数的含义，能够正确应用正弦函数表示直角三角形中锐角的对边与斜边的比，知道直角三角形中锐角度数一定时，它的对边与斜边的比值是固定值；
2、经历锐角正弦函数的探索过程，进一步体会函数的意义，培养由特殊到一般的演绎推理能力及合作交流能力；
3、在学习数学过程中体会数学与生活的密切联系，激发好奇心和主动学习的欲望。
重点：理解正弦函数的概念。
难点：体会当锐角一定时，它的正弦值也唯一确定。
四、 教学过程的设计及实施
发现问题阶段
问题探究阶段
问题解决阶段 概念应用阶段
小结提升阶段
（一）发现问题阶段
师：咱们班有很多同学都喜欢看足球比赛，常常被其中的精彩画面所吸引，可大家知道吗，在足球比赛中蕴含着不少数学知识呢！下面请同学们观看一段足球比赛视频。（播放视频） 师：通过视频我们不难发现足球比赛中有我们数学中圆的知识，当圆心角改变时，与它对应的圆周角也随之改变，而当圆心角一定时，它所对应的圆周角也随之确定，二者之间具有函数关系。那么在圆中还有那些量之间具有函数关系？今天让我们继续来研究。
【设计意图】利用足球运动员射门时的角度问题，得出圆心角与其相对应的圆周角之间存在函数关系，从而激发学生的学习兴趣，进而产生继续在圆中寻找
具有函数关系的量的欲望。
（二）问题探究阶段
活动1：
第一环节：动手实践 任意画一个圆，做出一个圆心角和它所对的弦；再改变圆心角的大小画出它所对的弦。（教师巡视）
生：观察与思考在定圆中，弦的长度随圆心角的变化而变化吗？怎样变化的？
第二环节：展示交流
在学生画图、思考问题后进行交流。
【设计意图】进一步明确弦长与圆心角之间的正比关系。从图形上直观感受在定圆中，弦的长度随圆心角的增大而增大。
第三环节：验证猜想 （几何画板演示）
【设计意图】通过几何画板演示，验证得出的猜想，渗透从特殊到一般的研究问题的方法，为后续探究做好铺垫。
第四环节：深度领悟
师：对于圆心角、圆心角所对的弦、半径这三者而言，当半径确定时，圆心角越大所对的弦越长。
活动2：
第一环节：动手实践
任意画一组半径为1cm、2cm、4cm的同心圆，任意做出一个圆心角，并画出这个圆心角在每个圆中所对的弦。（学生独立探究）
生：通过动手画图，思考在大小不同的圆中，当圆心角一定时，所对的弦怎样变化？
第二环节：展示交流
【设计意图】从图形上直观感受当圆心角一定时，所对的弦随半径的增大而增大。
第三环节：验证猜想（几何画板演示）
【设计意图】通过几何画板演示，验证学生得出的猜想，进一步体会特殊到一般的研究问题的方法。
第四环节：深度领悟
师：当圆心角一定时，半径越长，圆心角所对的弦越长。
【设计意图】进一步体会到圆心角、圆心角所对的弦、半径这三个变量之间具有某种依赖关系，但不是函数关系。
师：圆心角一定时，哪个量的值是唯一确定的？
【设计意图】使学生带着问题进入到活动3，问题激发学生浓厚的探究欲望。 活动3：
利用活动2所画的图形完成下表：给出3个特殊角，其余角学生自己选。 圆心O60 角 半径 1 2 弦长 弦长： 半径 904 O 120 O
独立探究环节：学生通过计算完成表格的填写，先完成教师给定的3个特殊角的计算，再自己任选两个角计算，表格填完后思考问题：
①圆心角改变时弦长：半径的值改变吗？
②在圆心角一定的情况下，弦长：半径的值呢？
③除了以上的特殊角，圆心角是其它度数时，②的结论还成立吗？
【设计意图】本环节主要任务是通过表格填写的结果，得出圆心角一定时，所对弦长与半径的比值为“固定的值”的猜想。
合作交流环节：学生在已分好的小组内进行交流讨论，主要交流结果以及互相讲解，并通过讨论交流解决教师提出的问题。
【设计意图】通过小组合作共同发现规律。
分组展示环节：展示各组交流的结果。
得出猜想环节：通过对表格中的数据进行分析，师生共同归纳得出结论，当圆心角一定时，所对弦长与半径的比值为“固定的值”这样的判断。
验证猜想环节：（几何画板演示）
【设计意图】数形结合，通过改变半径，使学生直观观察到圆心角一定时，所对弦长与半径的比值为“固定的值”。
（三）问题解决阶段
活动4：思考：
1、当圆隐藏时，只剩下等腰三角形，你发现的结论可以怎样叙述？
2、等腰三角形还可以进一步转化为什么特殊图形？如何转化？又能得到什么新的猜想？
师：几何画板演示。
生：观察，在老师引导下思考与回答
【设计意图】进行情景转换，圆隐藏时只留下等腰三角形，进而将等腰三角形转化为直角三角形，揭示圆与直角三角形之间的相互内在关联。
活动5：
当半角取30、45、60时，半弦与半径的比还是“固定的值”吗？
A2A1AOBB1B2
当半角任取一个锐角时，半弦与半径的比还是“固定的值”吗？ 生：说明猜想 ，并用语言叙述猜想
师：利用几何画板演示，通过特殊角体会，半弦与半径的比值，不随半径的大小而改变，只与角的大小有关。
【设计意图】验证当半角一定时，半弦与半径的比是固定值，与三角形的大小无关。
活动6：
任取一个锐角MON，在MO边上任取两点A1 、A2 ，过A1 、A2分别
MA2A1ABAB向ON做垂线，交ON于B1、B2，求证：1122
OA1OA2OB1B2N
独立证明环节：主要以独立证明为主，教师做个别辅导。
交流反馈环节：展示证明过程
【设计意图】使学生真正认识到直角三角形中锐角度数一定时，它对边与斜边的比值是固定值。
明确结论环节：提出新的概念——正弦。 正弦概念：
在RtABC中，C=90，a、b、c分别为A、B 、C的对边，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。 记作：sinA 即：sinA =
A的对边a =
斜边cBcAbaC
师：说出sinB，思考正弦是函数吗？
师：1、对于锐角的每一个确定的值，有确定的比值与之相对应，这个确定
的值是唯一的，所以正弦是函数。自变量是角，函数是比值。 2、“nisA”是一个完整的符号，表示一个比值
3、记号里习惯省去角的符号“∠” ，单独写出符号sin是没有意义的，因为它离开了确定的锐角无法显示它的含义。
（四）概念应用阶段
已知RtABC和RtA1B1C1中，CC190 ，AA1，C1DA1B1 于点D,如果
DC1DB1BCBC1= ，那么11= ，= ，=
A1C1B1C1A1B1AB3B1DBAC
生：先独立思考，然后展示交流。
【设计意图】学生是利用发现的结论解决的问题，进一步说明了直角三角形中，正弦是锐角的函数，当锐角一定时，正弦值也一定。与直角三角形的大小，位置无关。
（五）小结提升阶段
你是怎么理解正弦的意义的？这节课我们都用了哪些数学研究的方法？ 生：总结自己的收获。
师：通过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论。希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识。
【设计意图】学生从知识、方法等方面进行回顾，增强学生归纳总结的能力。
五、教学特色分析
由于正弦函数知识本身既具有函数的特征，其特征的发现和证明又运用到了几何中的圆与相似三角形的知识。以往的教学基本上仅注意了其中的几何推理，而忽视了其函数的本质属性，本节课是基于正弦的函数意义下的教学，从“正”和“弦”的本身意义开始研究。
本节课以探究具有函数关系的量为主线展开探究活动，通过一系列与圆有关的探究活动，得出圆心角和弦与半径的比具有函数关系，通过图形间的分解和转换，过渡到直角三角形中，进而得出直角三角形中锐角和对边与斜边的比值具有
A1C1函数关系，从而得到正弦函数的概念。
本节课通过六个学习活动，尝试给学生创造充分探究的空间和时间，减少教师在课堂上的机械宣讲，让学生真正体验和经历了一回数学再发现、问题再认识的过程，学生在活动中的自我展示令人欣慰。
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