初一数学培优之数形结合

初一数学培优之数形结合

阅读与思考

数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．

运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：

1．利用数轴能形象地表示有理数； 2．利用数轴能直观地解释相反数； 3．利用数轴比较有理数的大小；

4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．

例题与求解

【例1】 已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于_____________．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

解题思路：确定A，B在数轴上的位置，求出A，B两点所表示的有理数．

【例2】 在数轴上和有理数a,b,c对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：

①abc0，②abbcac，③(ab)(bc)(ca)0，④a1bc，其中，正确的结论有（ ）个．

A．4 B．3 C．2 D．1

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：从数轴上得到a10bc1，再对代数式进行逐以一判断．

【例3】 如图所示，已知数轴上点A,B,C所对应的数a,b,c都不为0，且C是AB的中点．如果aba2cb2cab2c0，试确定原点O的大致位置．

解题思路：从化简等式入手，而c

ab是解题的关键． 2

【例4】 （1）阅读下面材料：

点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB．当A,B两点中有一点在原点时，

当A、B两点都不在原点时，

①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；

②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|； 综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|． （2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________； ②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是______________，如果|AB|＝2，那么x为_________； ③当代数式|x＋1|十|x－2|取最小值时________，相应的x的取值范围是___________．

④求

x1x2x3...x1997的最小值．

（江苏省南京市中考试题）

解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式ab所表示的意义，来回答所提出的具体问题．

【例5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？

（湖北省荆州市竞赛试题）

解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问题转化为求yxa1xa2•••xan的最小值．

【例6】 如图，A是数轴上表示－30的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A,B,C在数轴上同时向正方向运动．点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t（秒）． （1）当t为何值时，线段AC＝6（单位长度）？

（2）t≠5时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，求2PM－PN＝2时t的值．

（湖北省荆州市竞赛试题）

解题思路：（1）A,B,C三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A点运动到C点左侧和右侧两种情况来分析求解．

（2）先将P,M,N三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M始终在点N左侧，则分为“点P在M,N左边”，“点P在M,N之间”，“点P在M,N右边”三种情况来求解．

能力训练

A级

1．已知数轴上表示负数有理数m的点是点M，那么在数轴上与点M相距m个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是______________．

（江苏省竞赛试题）

2．如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A,B两点的距离为______________．

3．点A,B分别是数3，'1''在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到AB的中点对应数3，2则点A对应的数是________________，点A移动的距离是____________．

（“希望杯”邀请赛试题）

4．已知a0，那么有理数a,b,a,b的大小关系是_________________________．（用b0且ab0，“＜”号连接）

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

5．在数轴上任取一条长度为19991的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）． 9（重庆市竞赛试题）

A．1998 B．1999 C．2000 D．2001

6．如图，a,b为数轴上的两点表示的有理数，在ab,b2a,ab,ba中，负数的个数有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

（“祖冲之”邀请赛试题）

7．有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子ababbc化简结果为（ ）． A．2a3bc B．3bc C．bc D．cb

8．如图所示，在数轴上有六个，且ABBCCDDEEF，则与点C所表示的数最接近的整数是（ ）．

A．－1 B．0 C．1 D．2

（“希望杯”邀请赛试题）

9．已知a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示：

且6a6b3c4d6，求3a2d3b2a2bc的值．

10．电子跳蚤落在数轴上的某点Ko，第一步从Ko向左挑一个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置Ko点所表示的数是_________________．

11．如图，已知A,B分别为数轴上两点，A点对应的数为－20，B点对应的数为100． （1）求过A,B中点M对应的数．

（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从

A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数．

（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A

点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数．

B 级

1．有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示：

则化简abb1ac1c的结果为_____________________． 2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“93站台”的镜头（如示意图中M站台），构4思奇妙，给观众留下深刻的印象．若A,B站台分别位于－2，－1处，AN2NB，则N站台用类似电影里的方法称为“_________________站台”

（《时代学习报》数学文化节试题）

3．在数轴上，若N点与原点O的距离是N点与三〇若对应的点之间的距离的4倍，则N点表示的数是_________________．

（河南省竞赛试题） 4．若a0,b0，则使xaxbab成立的x的取值范围是__________________．

（武汉市选拔赛试题）

5．如图，直线上有三个不同的点A,B,C，且ABBC，那么，到A,B,C三点距离的和最小的点为（ ）．

A． B点外 B．线段AC的中点 C．线段AC外一点 D． 无穷多个

（“希望杯”邀请赛试题）

6．点A1,A2,A3,,An(n为正整数)都在数轴上，点在原点O的左边，且A1O1，点A2在点A1的右边，且A2A12，点A3在点A2的左边，且A3A23，点A4在点A3的右边，且A4A34，•••，依照上述规律，点A2008,A2009所表示的数分别为（ ） ．

A．2008，－2009 B．－2008，2009 C．1004，－1005 D．1004，－1004

（福建省泉州市中考试题）

7．设yx1x1，则下列四个结论中正确的是（

）．

A．y没有最小值 B．只有一个x使y去最小值 C．有限个x（不止一个）使y去最小值 D．有无穷多个x使y取最小值

（全国初中数学联赛试题）

8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A,B,C,D对应的数分别是整数a,b,c,d，且b2a9，那么数轴的原点对应点是（ ）．

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点

（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题） 9．已知x21x9y51y，求xy的最大值和最小值．

（江苏省竞赛试题）

10．如图，在环形运输线路上有A,B,C,D,E,F六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．

11．如图，数轴上标有2n1个点，它们对应的整数是n,(n1),,2,1,0,1,2,,n2,n1,n．为了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于4．求n的最小值．

（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）