拉格朗日函数在微观经济学中如何运用?
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发布时间：2022-04-22 23:19
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时间：2023-10-17 05:24
先说用法吧，拉格朗日乘子法是用来求有*的下最优解的，这里*条件就是制约函数，求得就是在满足g（X）=b时f(X)的最值。下面说具体内容，举个栗子比较容易讲：假设f(X)是效用函数，g（X）=b是成本约束，为了简便X=x好了（只有一个约束），另外假设x的价格为p，后面会用到。那等式L=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大，答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光，剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用，也就是b每增加1各单位，效用就会增加λ那么多。证明如下：对L求x和λ的一阶偏导，得到：1.dL9=f'(x)+λg'(x)=02. dL/dλ=b-g(x)=0第2个等式就是制约条件，意思就是预算被花光（因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的）。等式1变形得3. λ=f'(x)/g'(x)λ的定义就出来了，也就是当b每增加1个单位，g'(x)=1/p，就是花在x上的钱多了1，同时买了1/p那么多的x，这时λ=f'(x)/p，就是1单位收入带来的额外效用。这时因为X是一元的所以最值不用另外求，就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。现在变成二元的，X=(x,y)，g（.）依旧是成本，f（.）还是效用，但这时λ还是一样的意义，只不过一阶偏导变成了3个:dL9=0dL=0dL/dλ=0三元一次方程组解出唯一解的话就是最优了。当X上升为n元时，也就意味着要同时考虑n个条件，就像是同时用b购买有n种商品，要求效用的最优解。这时唯一的不同只是方程组的未知数变多了，解法还是一样的。扩展资料：拉格朗日函数是在力学系上只有保守力的作用，是描述整个物理系统的动力状态的函数。在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对于一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能，以方程表示为其中， 为拉格朗日量， 为动能， 为势能。在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日函数，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加运算，即可求得此系统的运动方程。分析力学方面在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日量（英语：Lagrangian），又称为拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对於一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能。力学方面在力学系上只有保守力的作用，则力学系及其运动条件就完全可以用拉格朗日函数表示出来。这里说的运动条件是指系统所受的主动力和约束。因此，给定了拉氏函数的明显形式就等于给出了一个确定的力学系。拉氏函数是力学系的特性函数。微观经济学的历史渊源可追溯到亚当·斯密的《国富论》，阿尔弗雷德·马歇尔的《经济学原理》。20世纪30年代以后，英国的罗宾逊和美国的张伯伦在马歇尔的均衡价格理论的基础上，提出了厂商均衡理论。标志着微观经济学体系的最终确立它的体系主要包括：均衡价格理论，消费经济学，生产力经济学，厂商均衡理论和福利经济学等。微观经济学的发展，迄今为止大体上经历了四个阶段：第一阶段：17世纪中期到19世纪中期，是早期微观经济学阶段，或者说是微观经济学的萌芽阶段。第二阶段：19世纪晚期到20世纪初叶，是新古典经济学阶段，也是微观经济学的奠定阶段。第三阶段：20世纪30年代到60年代，是微观经济学的完成阶段。第四阶段：20世纪60年代至今，是微观经济学的进一步发展、扩充和演变阶段
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时间：2023-10-17 05:24
其实，v那个式子就是在用拉格朗日乘法求解极值。拉格朗日乘法：设给定二元函数z=?(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=?(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数 ，其中λ为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即 L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0， L'y(x,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0， φ(x,y)=0 由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=?(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。所以，v那个式子就是构造的拉格朗日高数，你们如果学了高数中多元函数极值，应该就很容易理解了，一般都是用拉格朗日乘法进行求解的。
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时间：2023-10-17 05:25
L(x, 入) = u (x)-入(px-m)
分别对x和入求导，可以求出x值。为x在最大效用下的最优解。
想要深入研究的话建议阅读范里安的《微观经济学现代观点》或者尼克尔森的《微观经济学》
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时间：2023-10-17 05:25
拉格朗日乘子法是用来求有*的下最优解的，这里*条件就是制约函数，求得就是在满足g(X)=b时f(X)的最值。
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时间：2023-10-17 05:26
先说用法吧，拉格朗日乘子法是用来求有*的下最优解的，这里*条件就是制约函数，求得就是在满足g（x）=b时f(x)的最值。
下面说具体内容，举个栗子比较容易讲：
假设f(x)是效用函数，g（x）=b是成本约束，为了简便x=x好了（只有一个约束），另外假设x的价格为p，后面会用到。
那等式l=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大，答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光，剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用，也就是b每增加1各单位，效用就会增加λ那么多。证明如下：
对l求x和λ的一阶偏导，得到：
1.
dl/dx=f'(x)+λg'(x)=0
2.
dl/dλ=b-g(x)=0
第2个等式就是制约条件，意思就是预算被花光（因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的）。
等式1变形得
3.
λ=f'(x)/g'(x)
λ的定义就出来了，也就是当b每增加1个单位，g'(x)=1/p，就是花在x上的钱多了1，同时买了1/p那么多的x，这时λ=f'(x)/p，就是1单位收入带来的额外效用。
这时因为x是一元的所以最值不用另外求，就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。
现在变成二元的，x=(x,y)，g（.）依旧是成本，f（.）还是效用，但这时λ还是一样的意义，只不过一阶偏导变成了3个:
dl/dx=0
...展开先说用法吧，拉格朗日乘子法是用来求有*的下最优解的，这里*条件就是制约函数，求得就是在满足g（x）=b时f(x)的最值。
下面说具体内容，举个栗子比较容易讲：
假设f(x)是效用函数，g（x）=b是成本约束，为了简便x=x好了（只有一个约束），另外假设x的价格为p，后面会用到。
那等式l=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大，答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光，剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用，也就是b每增加1各单位，效用就会增加λ那么多。证明如下：
对l求x和λ的一阶偏导，得到：
1.
dl/dx=f'(x)+λg'(x)=0
2.
dl/dλ=b-g(x)=0
第2个等式就是制约条件，意思就是预算被花光（因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的）。
等式1变形得
3.
λ=f'(x)/g'(x)
λ的定义就出来了，也就是当b每增加1个单位，g'(x)=1/p，就是花在x上的钱多了1，同时买了1/p那么多的x，这时λ=f'(x)/p，就是1单位收入带来的额外效用。
这时因为x是一元的所以最值不用另外求，就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。
现在变成二元的，x=(x,y)，g（.）依旧是成本，f（.）还是效用，但这时λ还是一样的意义，只不过一阶偏导变成了3个:
dl/dx=0
dl/dy=0
dl/dλ=0
三元一次方程组解出唯一解的话就是最优了。
当x上升为n元时，也就意味着要同时考虑n个条件，就像是同时用b购买有n种商品，要求效用的最优解。这时唯一的不同只是方程组的未知数变多了，解法还是一样的。
至于b的元数...你遇到更高元的*条件再问吧...收起
