设G是一个交换群，分别含有m阶和n阶的a和b元素。证明G包含一个元素，其阶数是m和n的最小公倍数？
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发布时间：2022-04-22 09:46
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时间：2023-10-30 19:09
修改一下昨天的回答。
这题主要应用了交换群的性质和群里元素阶数的性质，还有最小公倍数的“互质拆分”方法。
假设G=(G,*)。下面记1_G=1，则有a^m=1，b^n=1。不妨设m和n的最大公约数是r，假设m=pr，n=qr，则(p,q)=1，最小公倍数是pqr。我们把r分解成r=r1*r2*r3，其中r1只包含p的质因数，r2只包含了q的质因数，r3和pq互质。那么令m'=pr1，n'=qr2r3，则a'=a^(r2r3)的阶是m'，b'=b^(r1)的阶是n'，且(m',n')互质。
令c=a'*b'，则c^m'=(a'*b')^m'=(a'^m')*(b'^m')=b'^m'（交换群的性质）。由于(m',n')=1，且b'的阶数是n'，因此c^m'=b'^m'的阶数是n'，同理c^n'的阶数是m'。
假设c的阶数是k，则k不整除m',2m',...,(n'-1)m'，但k|m'n'；同理k不整除n',2n',...,(m'-1)n'，但k|m'n'。下面证明k=m'n'。如若不然，则假设k=m'n'/s，那么m'n'/s不整除m',2m',...,(n'-1)m'→m'n'不整除m's,2m's,...,(n'-1)m's→n'不整除s,2s,...,(n'-1)s，那么有n'和s互质，同理m'和s互质。但k=m'n'/s为整数，说明s=1。
此时k=m'n'=pr1*qr2r3=pqr为m和n的最小公倍数。命题得证。
