Rt三角形的讲解。
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发布时间：2022-04-22 06:50
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时间：2022-06-16 21:48
知识点1 解直角三角形的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，c＝5，如何求∠B，a，b呢？由∠A＋∠B＝90°，∠A＝50°，得∠B＝90°－∠A＝40°，由sinA＝a/c，得a＝csinA＝5sinA≈5×0.7660≈3.83，由cosA＝b/c，得b＝ccosA＝5cosA≈5×0.28≈3.214上述问题中，我们除了直角外，已知一条边和一个锐角，求未知两条边和一个锐角，于是有： 在直角三角形中由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形。（说明）直角三角形*有六个元素，即三条边和三个角，除去直角外，另外的五个元素中，只要知道一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素 知识点2 解直角三角形的理论依据在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边。（1）三边之间的关系：（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系：sinA＝a/c，cosA＝b/c，tanA＝a/b，sinB＝b/c，cosB＝a/c，tanB＝b/a（4）直角三角形的有关定理.①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.②直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.③直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°.④直角三角形中，斜边上的高是这条高分斜边所得两条线段的比例中项.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则CD2＝AD×DB.同理AC2＝AD×AB，CB2＝BD×BA. 面积公式：如图所示S△ABC＝CA×CB＝AB×CD.【说明】在运用关系式解直角三角形时，常用到下列变形锐角之间的关系：∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A三边之间的关系：，，边角之间的常用变形：a＝csinA，b＝ccosA，a＝btanA，a＝ccosB，b＝csinB，b＝atanB. 知识点3 解直角三角形的基本类型及其解法解直角三角形有四种基本类型：（1）已知斜边和一直角边；（2）已知两直角边；（3）已知斜边和一锐角；（4）已知一直角边和一锐角，其解法步骤列表如下：图形已知类型已知条件解法步骤两边斜边，一直角边（如c，a）（1）（2）由sinA＝a/c，求∠A（3）∠B＝90°－∠A两直角边（如a，b）（1）（2）由tanA＝a/b，求∠A（3）∠B＝90°－∠A一边一角斜边，一锐角（如c，∠A）（1）∠B＝90°－∠A（2）由sinA＝a/c，求a＝csinA（3）由cosA＝b/c，求b＝ccosA一直角边，一锐角（如a，∠A）（1）∠B＝90°－∠A（2）由tanA＝a/b，求b＝a/tanA（3）由sinA＝a/c，求c＝a/sinA例如：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，解这个直角三角形.［分析］可画出图形，如图所示，已知条件中的两条边是直角边，用∠A的正切求出∠A，由90°－∠A求出∠B，由勾股定理求出斜边c.解：在Rt△ABC中，∵，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝60°，由勾股定理.（1）在求直角三角形的有关问题时，要画出图形，以利于分析问题。（2）选择关系式时，要尽量利用原始数据，使计算更加准确。 知识点4 仰角、俯角如图所示，OC为水平线，OD为铅垂线，OA，OB为射线，我们把射线OA与水平线OC所形成的∠AOC称为仰角；把线OB与水平线OC所形成的∠BOC称为俯角.进行高度测量时，射线与水平线所形成的角中当射线在水平线上方时叫做仰角；当射线在水平线下方时叫做俯角. 知识点5 坡角、坡度如图所示BC表示水平面，AB表示坡面，我们把水平面BC与坡面AB所形成的∠ABC称为坡角一般地，线段BC的长度称斜坡AB的水平宽度，线段AC的长度称为斜坡的铅垂高度，坡面的铅垂高度h与水平宽度L的比称坡面的坡度（坡比）记作i＝h:L坡度经常写作h:L的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作∠α，所以tan∠α＝i＝h:L显然，坡度越大，坡面就越陡。 知识点6 方位角、方向角方位角：从某点的正北方向沿着顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角方向角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的角叫做方向角 【典型例题】选择题1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式是（ ）A. c＝ B. c＝C. c＝a·tanA D. c＝a·cotA答案：A [点拨]sinA＝，所以c＝．2. 小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降了（ ） A. 1米 B. 米 C. 米 D. 米 答案：A3. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则AC等于（ ） A. 6 B. C. 10 D. 12答案：A 点拨：tanA＝，AC＝＝6．填空题1. 如图，3×3网格中一个四边形ABCD，若小方格正方形的边长为1，则四边形ABCD的周长是_______．答案：3＋2 [点拨]四边形ABCD的周长为＋＋＋＝3＋2．2. 已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则tanA＝______．答案： 点拨：BC＝＝＝12，tanA＝＝．3. 某坡面的坡度为1：，则坡角是_______．答案：30° 点拨：坡角α的正切tanα＝，所以α＝30°．4. 如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是________厘米．答案：6 点拨：根据条件可得筷子长为12厘米，如图AC＝10，BC＝＝＝6． 解答题1. 根据下列条件解直角三角形.（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝5;（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，∠A＝60°;（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝2;（4）在Rt△ABC中，∠C＝90，b＝15，∠A＝42°6′.解：（1）∵sinA＝＝＝，∴∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝45°，∴∠A＝∠B＝45°，∴b＝a＝5. （2） ∵∠A＝60°，∴∠B＝90°—∠A＝30°. ∵sinA＝，∴a＝c·sinA＝4·sin60°＝4·＝6.b＝＝2.（3）∵∠C＝90°，a＝6，b＝2∴c＝＝＝4∵tanA＝∴∠A＝60°∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°（4）∵∠A＝42°6′.∴∠B＝90°－∠A＝47°54′∵tanA＝ ∴a＝b·tanA＝15×tan42°6′＝13.55∵cosA＝∴c＝＝20.22 2. 已知等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，CE为AB边上的高，求顶角∠A的四种三角函数值．解：如图，AD⊥BC，CE⊥AB，AB＝AC． 因为AD⊥BC，AB＝AC，所以BD＝CD＝5． 在直角三角形ABD中，AD＝＝12． S△ABC＝×AB×CE＝×BC×AD，所以×13×CE＝×10×12，CE＝． 在直角三角形ACE中，AE＝＝． 在直角三角形ACE中， sin∠CAE＝， cos∠CAE＝， tan∠CAE＝， cot∠CAE＝． 3. 如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？解：第一次观察到的影子长为5×cot45°＝5（米）；第二次观察到的影子长为5×cot30°＝5（米）．两次观察到的影子长的差是（5－5）米．4. 如图所示为一个燕尾槽是等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i＝1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积．解：如下图，作DF⊥BC于点F．由条件可得四边形AEFD是矩形，AD＝EF＝10．AB的坡角为1：1，所以＝1，所以BE＝10．同理可得CF＝10． 里口宽BC＝BE＋EF＋FC＝30（厘米）． 截面积为×（10＋30）×10＝200（平方厘米）．5. 如图，AB是江北岸滨江路的一段，长为3千米，C为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥的长为多少米？（精确到0.1）解：过点C作CD⊥AB于点D． CD就是连接两岸最短的桥．设CD＝x千米． 在直角三角形BCD中，∠BCD＝45°，所以BD＝CD＝x． 在直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，所以AD＝CD×tan∠ACD＝x·tan30°＝x． 因为AD＋DB＝AB，所以x＋x＝3，x＝≈1.9（千米）．6. 如图所示，学校在楼顶平台上安装地面接收设备，为了防雷击，在离接收设备3米远的地方安装避雷针，接收设备必须在避雷针顶点45°夹角范围内，才能有效避免雷击（α≤45°），已知接收设备高80厘米，那么避雷针至少应安装多高？解：80厘米＝0.8米，如图，AE⊥CD于点E，AB＝CE＝0.8，AE＝BC＝3． 在直角三角形ADE中，cotα＝，DE＝AE×cotα＝3cotα． 因为α≤45°，所以cotα≥1，所以DE≥3． CD＝CE＋DE≥3.8（米）． 因此，避雷针最少应该安装3.8米高．
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时间：2022-06-16 21:48
求是不是全等三角形：一条斜边和一条直角边（HL） 必须是Rt三角形哦当Rt三角形的一个锐角为30度，这个锐角所对的边为斜边的一半
