哥德尔不完全性定理
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发布时间：2022-04-22 06:42
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热心网友
时间：2023-07-14 02:41
哥德尔第一不完全性定理：如果PA是一致的，则存在PA命题P， P在PA中不可证；如果PA是ω一致的，则P的否定﹁P在PA中不可证（1936年罗塞尔（J.B.Rosser）证明可以将条件“ω一致”改为“一致”），即系统PA是不完全的，这样的P称为不可判定命题（即命题和命题的否定都不是系统的定理）。
哥德尔第二不完全性定理：如果算术形式系统PA是一致的，则不可能在系统PA内部证明其一致性。（不能自我证明其完满性？这里的一致是不是指的系统的自洽性？）
哥德尔的两个不完全性定理可以更一般地表述为：
哥德尔第一不完全性定理：任何足以展开初等数论的数学形式系统，如果是一致的，就是不完全的，即其中必定存在不可判定命题；
哥德尔第二不完全性定理：任何足以展开初等数论的数学形式系统，如果是一致的，其一致性在系统内不可证。第二不完全性定理的另一种形式：任何足够丰富的数学形式系统，如果是一致的，那么它不能证明表达它自身一致性的命题是定理。
哥德尔证明第一不完全性定理的思路是，先在形式系统中构造一个命题P，这个命题形如“P在系统中不可证”，进而指出，这个命题P和它的否定﹁ P都不是系统的定理，即这个命题在系统中是不可判定的。依照经典逻辑，任何一个命题，或者为真，或者为假，二者必居其一，二者只居其一，即命题和命题的否定必有一真，因此，系统中存在不可判定命题，就意味着系统中存在真的但不可证的命题。事实上，哥德尔构造的命题P身就是一个真的但在系统中不可证的命题。
哥德尔证明第二不完全性定理的思路是，既然有事实，如果系统PA是一致的，则P在系统PA中不可证，那么表达这个事实的论证可以在系统PA中形式化。例如，“系统PA是一致的”可以表示为Con（PA），同时把“P在系统PA中不可证”就用P表示，相应论证就表示成：
├ Con（PA）→ P
根据前述，如果 Con（PA）可证，则有
├ P
即P在系统PA中可证。这显然与第一不完全性定律相矛盾。
热心网友
时间：2023-07-14 02:42
哥德尔不完全性定理 哥德尔不完全性定理
哥德尔不完全性定理 哥德尔是德国著名数学家,不完备性定理是他在1931年提出来的.这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化,更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑.该定理与塔斯基的形式语言的真理论,图灵机和判定问题,被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果.
哥德尔证明了任何一个形式体系,只要包括了简单的初等数论描述,而且是一致的,它必定包含某些体系内所允许的方法既不能证明也不能正伪的命题.
歌德尔第一不完全定理:设系统S包含有一阶谓词逻辑与初等数论,如果S是一致的,则下文的T与非T在S中均不可证.设下述公式的编码为q，
歌德尔第二不完全定理:如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
（第一不完备性定理：任意一个包含算术系统在内的形式系统中，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。
第二不完备性定理：任意一个包含算术系统的形式系统自身不能证明它本身的无矛盾性。）
