含参数的二次方程根的分布问题
发布网友
发布时间：2022-04-22 18:10
共1个回答
热心网友
时间：2023-10-11 16:27
题1 设 ，方程 有两个不同的解，求实数a的取值范围。
错解：原方程可化为 。
令 ，则方程 在 有一个解。
又令 ，则有 或 。
这是文〔1〕介绍含参数二次方程求参数取值范围的一道例题，其解答过程是错误的。上述错解在一些数学期刊中流传甚广，有必要予以剖析纠正。
分析：上这解答有两处常见错误。首先，对于 ，当 时，在 上有两个不同的解 ，但当 时仅有一解 ；其次， 包含三种情况：
① ，此时方程 在（0，1）上有且仅有一个解；
② ，此时方程 在 上至少有一解 ，若方程仅有一解 或另一解 时符合题意，但当方程在 上另有一解时，原方程有三个（此时另一解为 ）或四个解（此时另一解为 ），显然不合题意；
③ ，此时方程 在 上至少有一解 ，当方程在 上另有一解时，原方程有三个解不合题意，当方程仅有一解 或另一解 时，原方程在 仅有一解 ，均不合题意。因此，本题的正确解法应作如下改正。
正解：仿上，要使原方程在 有两个不同的解，
只要方程 在 上有惟一解，则有 或 。
解得 或 。
又当 时， ，此时方程 有两个解 ，原方程在 有两个不同的解 符合题意。
当 时， ，此时方程 有两个解 ，原方程在 有三个不同的解 ，∴ 不合题意，∴实数 的取值范围是 或 。
评注：在解答含参数二次方程根的分布问题时，往往通过把方程转化为函数的方法，再考虑二次函数图像与x轴交点的位置关系，直观易懂，便于掌握。但对于区间端点根的情况，要注意分析其实质，不能盲目求解，导致类似前面的错误。
题2 集合 ，求实数m的取值范围。
解：设
（1）若 在 内有且只有一个解，则 ，即 。
（2）若 在 内有两个解，则有
即
解得 。
由（1）、（2）知 。
分析：事实上，以上解法也是不完整的，应考虑方程 恰有一解为2的情形，即补上（3） 才算完整。
下面是一些数学资料中常见的一道习题及其所谓的正确解答：
题3 若关于x的方程 有实根，求实数a的取值范围。
解：设 ，则 ，设 ，
原方程有实根的充要条件是方程 在 有实根，
即函数 图像与t轴在正半轴上有交点，有以下两种情况：
（1）当 有两个正根时，由 得 ，
（2）当 有一个正根一个负根时，由 ，得 。
综合得 且 。
上述解答的错误也在于，对区间端点的情况考虑不周，当方程 有一根为零时，由 ，知 ，易得方程另一根为 ，显然此时原方程有实根，所以实数a的取值范围是 。
