求证托勒密定理
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发布时间：2022-04-22 18:18
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热心网友
时间：2023-10-24 10:07
（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）
在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD
∠ABE=∠
ACD
因为△ABE∽△ACD
所以
BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD
(1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而∠BAC=∠DAE
所以△ABC∽△AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD
(2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因为BE+ED≥BD
（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
所以命题得证
热心网友
时间：2023-10-24 10:07
在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD
则三角形ABE和三角形ACD相似
所以
BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD
(1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而角BAC=角DAE
所以三角形ABC和三角形AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD
(2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB*CE+AD*BC
又因为BE+ED>=BD
所以命题得证
当且仅当E点落在线段BD上时,等号成立,此时ABCD内接于圆.
