f（x）在[-a，a]上具有二阶连续导数，且f（0）=0（1）写出f（x）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（
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（1）直接套用公式可得：
f（x）=f（0）+f′（0）x+
| 1 |
| 2! |
| 1 |
| n! |
| f(n+1)(ξ) |
| (n+1) |
其中 ξ 在0和x之间．
（2）
由（1）可得：
| ∫ | a?a |
| ∫ | a?a |
| ∫ | a?a |
| x2 |
| x! |
=
| ∫ | a?a |
| x2 |
| x! |
因为f（x）在[-a，a]上具有二阶联系偏导数
| ∫ | a?a |
故f″（x）具有最大值和最小值，
设f″（x）最大值为M，最小值为m，
则 m≤f″（ξ）≤M，
所以：
| m |
| 2 |
| ∫ | a?a |
| ∫ | a?a |
| 1 |
| 2 |
| ∫ | a?a |
| M |
| 2 |
| ∫ | a?a |
即：
| ma3 |
| 3 |
| ∫ | a?a |
| Ma3 |
| 3 |
即：m≤
| 3 |
| a3 |
| ∫ | a?a |
因为 f″（x）连续，
由连续函数的介值定理可得，至少存在一点η∈[-a，a]，使得：
f″（η）=
| 3 |
| a3 |
| ∫ | a?a |
即：a3f″(η) ＝ 3
| ∫ | a?a |
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简单计算一下即可，答案如图所示
