...2+2x)e-x,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f′(x)>1,求证:f(x...
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发布时间：2024-10-24 03:24
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时间：2024-12-04 06:49
（1）∵f（x）=（x2+2x）e-x，x∈R，
∴f′（x）=（2x+2）e-x-（x2+2x）e-x=（2-x2）e-x，
∴由f′（x）＞0得-2＜x＜2，故f（x）在（-2，2）上是增函数，
由f′（x）＜0得x＜-2或x＞2，故f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）上是减函数．
（2）由f′（x）＞1得（2-x2）e-x＞1，即ex＜2-x2，等价于x2+x-1＜x+1-ex，
先证：x+1≤ex，令g（x）=ex-（x+1），有g′（x）=ex-1，
当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，0）上单调递减；
∴g（x）≥g（0）=0，即x+1≤ex，
∴x2+x-1＜x+1-ex≤0，
∴x2+x-1＜0，由此得x2+2x＜x+1，
∴x2+2x＜x+1≤ex，
∴（x2+2x）e-x＜1，
即f（x）＜1．
