如何证明各条棱相等的正四面体与正四棱锥拼接是三棱柱(急急急)
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发布时间：2024-12-05 18:15
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热心网友
时间：2024-12-05 19:36
先构造一个斜三棱柱ABC－A1B1C1，使得面ABC与面A1B1C1为两个全等的正三角形，且三条棱的长等于底面的边长，同时∠ACC1＝∠ABB1＝60°，面BCC1B1为正方形。
一、现在证明：A－BCC1B1是一个正四棱锥。
∵AC＝CC1，∠ACC1＝60°，∴△ACC1是正三角形，∴AC＝AC1＝CC1。
∵AB＝BB1，∠ABB1＝60°，∴△ABB1是正三角形，∴AB＝AB1＝BB1。
∵BCC1B1是正方形，∴CC1＝B1C1＝BB1，结合证得的AC1＝CC1、AB1＝BB1，得：
△AB1C1是正三角形。
∴△ABC、△ACC1、△ABB1、△AB1C1是四个全等的正三角形，
又BCC1B1是以BC为边长的正方形，
∴A－BCC1B1是一个正四棱锥。
二、现在证明A－A1B1C1是一个正四面体。
∵△A1B1C1是正三角形，∴A1C1＝B1C1，又AC1＝B1C1，AA1＝A1C1，
∴△AA1C1是正三角形。
∵△A1B1C1是正三角形，∴A1B1＝B1C1，又AB1＝B1C1，AA1＝A1B1，
∴△AA1B1是正三角形。
∴△AB1C1、△AA1B1、△AA1C1是三个全等的正三角形，
∴A－A1BC1是一个正四面体。
三、显然，四棱锥A－BCC1B1、四面体A－A1B1C1的各条棱都是相等的。
综上所述，一个特定的三棱柱能分割出各条棱都相等的正四棱锥和正四面体。
自然，各条棱相等的一个正四棱锥和一个正四面体就能拼接成一个特定的三棱柱。
证明完毕。
热心网友
时间：2024-12-05 19:41
解：由题意作图如图，几何体是一个棱长都相等的斜三棱柱，
设棱长为1，四棱锥是棱长都相等的正四棱锥，三棱锥是一个正四面体
四棱锥的高是P到面AC的距离，P点到线段AD的距离是 ，令P在底面AC上的身影为0，连接AO，则AO= ，故PO= = = ；
三棱锥的高就是P点到面SBC的距离，令P点在面SBC上的身影为M，则M是三角形的重心，故SM= =故PM= = = ；
三棱柱的高也是PM= ．
因而h1：h2：h= =
故答案为：
