在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点,且B1M=2,点...
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发布时间：2024-12-18 06:04
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时间：2024-12-18 14:43
(1) 由于A'D⊥AN 并设交点为G
∠ADA'=∠AA'G=∠AA'N
△AA'D∽△AA'G∽△AA'D
AA'/AD=A'N/AA'
A'N=2
连接MN 由于B'M=2
MN//A'B' MN⊥A'D AN⊥A'D
A'D⊥平面AMN
故 向量A1D与AM成角余弦值为0
(2)平面ANM与平面ANMB重合，AB在平面ANMB上，
DA⊥AB NA⊥AB
∠D'AD即为直线AD与平面ANM所成角
∠A'NA=∠D'AD
tan∠D'AD=tan∠A'NA=4/2=2
直线AD与平面ANM所成角：arctan2
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时间：2024-12-18 14:39
（1）建立空间直角坐标系，写出两个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角的余弦．
（2）利用线面垂直的判断定理得到
A1D
⊥平面AMN，利用向量的数量积公式求出法向量
A1D
与
AD
所成角的余弦，
其绝对值为直线与面所成角的正弦．
解：（1）建立空间直角坐标系如图．
可得向量
AM
=（5，2，4），
向量
A1D
=（0，8，-4），
AM
•
A1D
=0+16-16=0
∴
AM
=⊥
A1D
，
即cos＜
AM
，
A1D
＞=0．
（2）
A1D
⊥AM，
A1D
⊥AN，∴
A1D
⊥平面AMN，
∴向量
A1D
=（0，8，-4），是平面AMN的一个法向量，
又
AD
=（0，8，0），|
A1D
|=4
5
，
|
AD
|=8，
A1D
•
AD
=；
∴cos＜
A1D
，
AD
＞=
45×8
=
2
5
=
25
5
，
∴AD与平面AMN所成的角为
π
2
-arccos
25
5 ．
