求这个不定方程组的所有正整数解
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发布时间：2022-04-22 04:28
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时间：2023-07-18 22:24
x-1=y^2①；x+1=z^3②；从①解出x后带入②得：z^3-y^2=2③，由③可知z、y同为偶数或同为奇数，设z、y同为偶数：z=2m、y=2n(m、n为正整数)，带入③得8m^3-4n^2=2，即4m^3-2n^2=1，该式左端为两个偶数之差，结果不可能为奇数！所以z、y同为奇数；设z=2m-1④，y=2n-1，带入③式得：z^3-y^2=8m^3-12m^2+6m-1-4n^2+4n-1=2(4m^3-6m^2+3m-2n^2+2n-1)=2，所以4m^3-6m^2-2n^2+2n+3m-1=1，即2(2m^3-3m^2-n^2+n)+3m=2，由此可知m为偶数，设m=2k(k为正整数)，代入④式得z=4k-1⑤，将⑤代入③式得y^2=z^3-2=k^3-48k^2+12k-3⑥；⑥式右端为平方数，有三种情况：第一种情况2√(k^3)√(12k-3)=48k^2，此时k=1⑦；第二种情况2√(k^3-3)√(12k)=48k^2，此时k=(3/16)^(1/3)，此解不合理(k为正整数)，舍去；第三种情况2√(k^3)√(12k)=48k^2+3，此式左端为偶数右端为奇数，不可能成立；将k=1代入⑤得z=3，将z=3代入③得y=5，将y=5代入①得x=26，所以本题的正整数解只有一组：x=26、y=5、z=3(毕)。
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时间：2023-07-18 22:24
http://zhidao.baidu.com/question/100943851.html
这人的最后一步其实是想说 左边最大公约数=(k,27) 右边最大公约数=(p,5)
再分情况讨，k和16k^2+36k+27基本上互素（最多有公因数27） 若p|27k or p+5|27k 这是不行的（由不等式关系）如27k>=p 左＜右 必定 p(p+5)|27(16k^2+36k+27) 矛盾
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时间：2023-07-18 22:24
两式相减
z³-y²=2
z=3,y=5
x=26
